湘教版高中数学必修第二册课后习题 第3章 复数 3.4 复数的三角表示.docVIP

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3.4*复数的三角表示

A级必备知识基础练

1.[江苏玄武校级期中]复数z=2-

A.2(cosπ4+isinπ4) B.2(cos3π4

C.2(cos7π4+isin7π4) D.2(cos5π4

2.将复数z=3cos-π2+isin-

3.[2(cos60°+isin60°)]3=.?

4.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].

5.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z

B级关键能力提升练

6.[江西南昌校级期中]复数(sin10°+icos10°)·(sin10°+icos10°)的三角形式是()

A.sin30°+icos30° B.cos160°+isin160°

C.cos30°+isin30° D.sin160°+icos160°

7.(12-32i)

8.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:

(1)试将复数eπ3i

(2)试求复数eπ

9.已知复数z的模为2,实部为3,求复数z的代数形式和三角形式.

10.计算下列各式的值:

(1)(-12+32i)·[2(cosπ

(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).

11.求证:(cos3θ+isin3θ

C级学科素养创新练

12.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2

(1)求ω;

(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.

3.4*复数的三角表示

1.Cz=2-2i=2(22-22i)=2(

2.-3i3z=3(0-i)=-3i,|z|=3.

3.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.

4.解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]

=42

=2[cos(-240°)+isin(-240°)]

=2-

=-1+3i.

5.解1z=(

6.B(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)=sin210°-cos210°+2sin10°cos10°i=-cos20°+sin20°i=cos160°+isin160°.故选B.

7.-36+16i原式=cos-π3+isin-π320÷[3(cosπ2+isinπ2)]=[

=(cos4π3+isin4π3)÷[3(cosπ2+isinπ2)]=13[cos4π3-π

8.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ

(2)由题意可知eπ3i+1

因此,eπ

9.解由题意,可设z=3+bi(b∈R).∵|z|=2,

∴3+b2=2,解得b=±1,∴z=3+i或z=

化为三角形式,得z=2(cosπ6+isinπ6)或z=2[cos-π6

10.解(1)-12+32i·[2

=(cos2π3+isin2π3)·[2(cosπ3

=2(cosπ+isinπ)

=-2.

(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.

11.证明左边=(cos9θ+isin9θ)·(

=cos(-θ)+isin(-θ)=cosθ-isinθ=右边.

12.解(1)argω=3π4,可设ω=a-ai(a∈

将其代入(1+ω)2+(1+i)2=1+kω,

化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,

∴2a=ka,2a(1+a

(2)|z-ω|=|(cosθ+1)+(sinθ-1)i|=(

=3+2(cosθ-

∵|z-ω|=1+2,

∴3+22cosθ+

化简得cosθ+π4=1.∵π4≤θ+π

∴θ+π4=2π,即θ=7π