北京市石景山第九中学2023-2024学年高三毕业班教学质量检测试题数学试题.doc

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北京市石景山第九中学2022-2023学年高三毕业班教学质量检测试题数学试题

注意事项

1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.

5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()

A. B. C. D.

2.若复数()在复平面内的对应点在直线上,则等于()

A. B. C. D.

3.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为

A. B.

C. D.

4.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()

A. B.

C. D.

5.已知为定义在上的偶函数,当时,,则()

A. B. C. D.

6.已知函数,则下列结论中正确的是

①函数的最小正周期为;

②函数的图象是轴对称图形;

③函数的极大值为;

④函数的最小值为.

A.①③ B.②④

C.②③ D.②③④

7.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()

A. B. C. D.

8.若与互为共轭复数,则()

A.0 B.3 C.-1 D.4

9.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()

A. B. C. D.

10.已知为坐标原点,角的终边经过点且,则()

A. B. C. D.

11.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()

A. B.

C. D.

12.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.根据如图所示的伪代码,若输入的的值为2,则输出的的值为____________.

14.已知函数有两个极值点、,则的取值范围为_________.

15.已知四棱锥,底面四边形为正方形,,四棱锥的体积为,在该四棱锥内放置一球,则球体积的最大值为_________.

16.函数在区间内有且仅有两个零点,则实数的取值范围是_____.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知都是各项不为零的数列,且满足其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.

(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;

(2)若是不为零的常数),求证:数列是等差数列;

(3)若(为常数,),.求证:对任意的恒成立.

18.(12分)已知是抛物线:的焦点,点在上,到轴的距离比小1.

(1)求的方程;

(2)设直线与交于另一点,为的中点,点在轴上,.若,求直线的斜率.

19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.

(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;

(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.

20.(12分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。

(1)求曲线的方程;

(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。

21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是矩形,,,分别是,的中点.

(Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)设,求三棱锥的体积.

22.(10分)设数列满足,.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

参考答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

,将,代入化简即可.

【详解】

.

故选:B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运算能力,是一道中档题.

2.C

【解析】

由题意得,可求得,再根据共轭复数的定义可得选项.

【详解】

由题意得,解得,所以,所以,

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义,属于基础题.

3.D

【解析】

设胡夫金字塔的底面边

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