湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 1.4.1 向量分解及坐标表示.docVIP

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1.4.1向量分解及坐标表示

A级必备知识基础练

1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()

A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4

2.在△ABC中,AE=15AB,EF∥BC,EF交AC于点F,设AB=a,

A.-a+15b B.a-1

C.23a-13b D.13

3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP

A.m0,n0 B.m0,n0

C.m0,n0 D.m0,n0

4.(多选题)设{i,j}为一组标准正交基,则关于a在基{i,j}下的坐标的说法,其中不正确的是()

A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)

B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2

C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O

D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)

5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.?

6.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以{e1,e2}为基来表示OC=,OD=.?

7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.

(1)求证:{a,b}可以作为一组基;

(2)以{a,b}为基,求向量c=3e1-e2的坐标.

8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23

(1)用a,b表示AD,

(2)求证:B,E,F三点共线.

B级关键能力提升练

9.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n=()

A.12 B.

C.67

10.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成一组基{i,j},对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a在基{i,j}下的坐标为.?

11.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM

C级学科素养创新练

12.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y1,且有OP=xOA+yOB.证明:点P必在△OAB内部.

1.4.1向量分解及坐标表示

1.D因为向量e1与e2不共线,

所以3x=4

2.A∵AE=15AB,∴

又EF∥BC,

∴EF=

∴BF=BE+EF=-45

3.B如图所示,利用平行四边形法则,

将OP分解到OP1和

则OA=mOP1,OB=nOP

4.BCD由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.

5.6由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,

即xe1+2e2=3λe1+λye2,

所以x=3λ,

6.23e1+13e213e1+23e2OC=OA+AC=OA+13AB=e1+

OD=OC+CD=OC+13AB=23

7.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),

则e1-2e2=λ(e1+3e2).

由e1,e2不共线,得λ

所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一组基.

(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),

则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+

故c=2a+b,即c=(2,1).

8.(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=

BE=AE-AB=13

(2)证明由(1)知,BE=23BF

又BE,BF有公共点B,

9.C由题意可得AP=2QP,QB=2

AB=a=AQ+QB=1

AC=AP

由①②求得AP=27

再由AP=ma+nb可得m=27,n=47,m+n=

10.(2,2)由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=(

11.解设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+

∴存在实数λ,μ,使AP=λAM=-λe1-3λe2,

BP=μBN=2μe1+μe2,

∴BA=BP-AP=(λ+2μ)e

又BA=BC+CA=2e1+3e2,

∴AP=45AM,即

12.证明由题