第七章 三角函数（压轴题专练）（原卷版）.docx

第七章三角函数（压轴题专练）

题型一弧长公式与面积公式的应用

【例1】如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场．已知∠AOB＝60°，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长度为100πm．怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？

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扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法

首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)．其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．在求解的过程中要注意：

(1)看清角的度量制，选用相应的公式；

(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．

巩固训练

1．我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝eq\f(π,3)，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)．在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．求海域ABCD的面积．

题型二给值(或式)求值问题

【例2】已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值．

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解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

巩固训练

1．已知eq\f(1＋tan（θ＋720°）,1－tan（θ－360°）)＝3＋2eq\r(2)，

求eq\f(cos2（π－θ）＋sin（π＋θ）·cos（π－θ）＋2sin2（θ－π）,cos2（－θ－2π）)的值．

题型三利用诱导公式证明恒等式

【例3】求证：

eq\f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))＝－tanα．

思维升华

利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：

(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．

(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．

巩固训练

1．求证：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2（π＋θ）)＝eq\f(tan（9π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1)．

题型四诱导公式的综合应用

【例4】已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α为第三象限角．

(1)求sinα的值；

(2)求f(α)＝eq\f(tan（π－α）sin（π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos（π＋α）)的值．

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用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．

(2)对于π±α和eq\f(π,2)±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

巩固训练

1．已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α为第三象限角，求f(α)＝eq\f(sin（5π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))tan（－π＋α）,－tan（－19π－α）sin（－α）)的值．

2．已知f(α)＝eq\f(sin（π－α）cos（2π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin（－π－α）)．

(1)化简f(α)；

(2)若α为第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq