初二数学等腰三角形和等边三角形知识点与例题.docx

三角形

等腰三角形和等边三角形

等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两个边称为这个三角形的腰

等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）

3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高及底边的夹角等于顶角的一半

6.等腰三角形底边上随意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

等腰三角形的判定：1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)2.在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形

等边三角形的性质：⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

⑵等边三角形每条边上的中线,高线和所对角的平分线相互重合（三线合一）

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线,高线或对角的平分线所在的直线。

⑸等边三角形重心,内心,外心,垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑹等边三角形内随意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

等边三角形的判定：

⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）

⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

两个内角为60度的三角形是等边三角形

说明:可首先考虑推断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质及判定理解：

首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形及等腰三角形的关系。等边三角形是特别的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

例题解析

例题解析

等腰三角形的性质应用及判定

【例1】（扬州中考）如图，△ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，BD及CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.

上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出全部情形）

选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形

A

A

E

B

C

O

D

EABCD【例2】如图，

E

A

B

C

D

【例3】（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）

①DC平分∠BDE ②BC长为()a

③△BCD是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长

ACBD

A

C

B

D

B

C

E

D

B

E

C

【例4】如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是

A

A

M

N

D

B

C

【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A.20°B.120°C.20°或120°D.36°

【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为

例7】如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试推断△AOD的形态，并说明理由

等边三角形的性质应用及判定

【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD及CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC的度数。

【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF

【例10】（天津中考）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE,BD分别及CD,CE交于点M,N,有如下结论：①△ACD≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是

A.3个B.2个C.1个D.0个

【例13】如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边

三角形ACM和BCN，连

三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于。

【例14】（常州中考）已知，如图，延长△ABC的各边，使得B