湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练69 最值与范围问题.docVIP

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课时规范练69最值与范围问题

1.(湖南衡阳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)左焦点为F,离心率为12,以坐标原点

(1)求C的方程;

(2)设点P(4,0),A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,PB交C于另一点E,求△AEF的内切圆半径的取值范围.

2.(甘肃兰州校考)已知椭圆的中心是坐标原点,一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上.若右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设椭圆与直线y=k,N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.

3.(九省适应性测试,18)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交C于A,B两点,过点F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中点B,D在N过定点;

(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值.

4.(山东潍坊模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若动直线l:y=-12x+m(1≤m2)与椭圆C交于A,B两点,且在坐标平面内存在两个定点P,Q,使得kPAkPB=kQAkQB=λ(定值),其中kPA,kPB分别是直线PA,PB的斜率,kQA,kQB分别是直线QA,QB的斜率

①求λ的值;

②求四边形PAQB面积的最大值.

课时规范练69最值与范围问题

1.解(1)依题意c=|OF|=22=1,c

(2)因为AE不与x轴重合,所以设AE的方程为≠0).设点A(x1,y1)(y1≠0),E(x2,y2),则B(x1,-y1).联立x=my+t,x24+y23=1,消去2+4)y2+6mty+3t2-12=0,则Δ=48(3m2-t2+4)0,y1+y2=-6mt3m2+4,y1y2=3t2-123m2+4.因为P,B,E三点共线且直线PB的斜率一定存在,所以y2x2-4=-y1x1-4,所以(3t2-12)=(4-t)(-6mt),即t=1,满足Δ=48(3m2+3)0,所以直线AE过定点Q(1,0),且Q为椭圆右焦点.设所求内切圆的半径为r,因为△AEF的面积是S△AEF=12×4a·r=4r,所以r=

2.解(1)依题意可设椭圆的标准方程为x2a2+y2=1,则右焦点

由题意得|a2-1+22|2=3,解得

(2)设P((xM,yM),N(N的中点,

由y=kx+m,x23+y2=1,消去y,整理得(3k2+1)2-1)=0,因为直线与椭圆相交,故

故xP=xM+xN2=-3mk3k2+1,yP=kxP+m=m3

又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN,则-m+3k2+13mk=-

因为m23k2+1,2m=3k2+1,所以m22m,解得0m2.

由2m=3k2+1,得k2=2m-130,解得m12,

3.(1)证明由C:y2=4x,故F(1,0),由直线AB与直线DE垂直,故两条直线斜率都存在且不为0.设直线AB,DE的方程分别为2y+1,由l⊥DE,得m1m2=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4).

联立y2=4x,x=m1y+1,消去1y-4=0,Δ=16m12+160,故y1+y2=4m1,y1y2=-4,则x1+1y2+1=m1(y1+y2)+2=4m12+2,故x1+

当2m12+1≠2m22+1时,则直线MN的方程为y=2m2-2m

2m12+1-2m1m2-2m12m2+m1=

(2)解由A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4),则直线AE的方程是y=y3-y1x3-x1(x-x1)+y1,由y12=4x1,y32=4x3,故y=y3-y1y324-y124(x-y124)+y1=4xy3+y1-y12y3

过点G作GQ∥(10,m20,则|yM-yN|=2m1-2m2=2m1+2m1≥22m1×2m1=4,当且仅当m1=1时,等号成立.下证|xQ-1y-4=0,又点A在1-m12+1),同理y3=2(m

当m11时,有m2=-1m1∈(-1,0),则点G在x轴上方,点Q也在x轴上方,有1m2+m1=1m1-

4.解(1)由题意得b2a2=1-c2

(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),P(与椭圆C:x26+y23=1联立,消去y,整理得32-12=0,Δ=16m2-12(4m2-12)=144-32m20,即-322m322,又1≤m2,所以1≤m2.注意到x1,x2为方程32-12=0的两根,故有恒等式32-12=3(x-x1)(x-x0+4m2-12=3(2-3=3(y-y1)(y-y2),则3y02-4my0+2m2-3=3(y0-y1)(y

所以4m(λ2(1-2λ)+3y02-3λx02