湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算.docVIP

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1.5.2数量积的坐标表示及其计算

A级必备知识基础练

1.(多选题)设向量a=(1,0),b=12

A.|a|=|b| B.a·b=2

C.a∥b D.a-b与b垂直

2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·

A.-3 B.-2 C.2 D.3

3.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·

A.4 B.-4 C.2 D.-2

4.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则AE·

A.[2,14] B.[0,12]

C.[0,6] D.[2,8]

5.若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为()

A.π6 B.π3 C.2π

6.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.?

7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.?

8.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).

(1)若a∥b,求|a-b|;

(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.

9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:AB⊥AD;

(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.

B级关键能力提升练

10.已知正六边形ABCDEF的边长为1,M为BC的中点,则AD·

A.12 B.1 C.23

11.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是()

A.[0,1] B.[-1,1]

C.[-3,3] D.[0,

12.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为()

A.3 B.5 C.7 D.8

13.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=.?

14.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|

(1)求AD·

(2)判断AE·

15.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).

(1)若α=π4

(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4

C级学科素养创新练

16.已知△ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=90°,BE=3EC,若P是边BC上的动点,则AP·AE的取值范围是

17.在平面直角坐标系=22,-22,n=(sinx,cosx),⊥n,求tanx的值.

1.5.2数量积的坐标表示及其计算

1.ABCA项,|a|=1,|b|=22

B项,a·b=1×12+0×1

C项,1×12≠0×1

D项,a-b=12,-1

2.C由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12

3.A如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC-

故AD·

4.A建立平面直角坐标系,如图,A(0,0),E(23,1),

设F(x,2)(0≤x≤23),

所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=2

设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,

则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·

5.C根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t,则|a|=3|b|=3t.

若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cosθ+3t2=0,即cosθ=-12.又0≤θ≤π,所以θ=2π

6.5因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,

解得x=1,则|a|=22

7.2a·b=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y

∵a与b的夹角为45°,

∴cos45°=a·

解得y=2或y=-12

8.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,

解得x=0或x=-2.

当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),

所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.

当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),

所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.

综上,|a-b|=2或25.

(2)因为a与b的夹角为锐角,

所以a·b0,即2x+3-x20,解得-1x3.

又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).

9.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴AB=(1,1),AD=(-3,3).又AB·AD=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD,

(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,∴

设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).

又AB=(1,1