湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 1.3 向量的数乘.docVIP

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1.3向量的数乘

A级必备知识基础练

1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且AB+AC=4

A.AD=2AE

B.AD=4AE

C.AD=2EA

D.AD=4EA

2.如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上靠近点B的一个三等分点,那么EF=()

A.12

B.1

C.13

D.1

3.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则()

A.A,B,D三点共线

B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线

D.B,C,D三点共线

4.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.?

5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.?

6.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.

7.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-23b+(2b-a);

(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.

B级关键能力提升练

8.在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OC+3OB=0,则△AOB和

A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3

9.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且AP=mAB+nAD(m,n∈R),则1m

A.3 B.3+22

C.4 D.4+22

10.在平行四边形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=λ

11.在△ABC中,P是AB上一点,且CP=23CA+

12.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.

(1)用向量a与b表示向量OC;

(2)若OE=

C级学科素养创新练

13.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设AC=a,AB=b,试用a,b表示AE

1.3向量的数乘

1.A由已知得AB+AC=2AD,所以AD=2

2.DEF=

3.A∵向量BD=BC+

∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.

4.等腰梯形由已知得AB=-57

因此AB∥CD,且|AB|≠|

又因为|AD|=|BC|,

所以四边形ABCD是等腰梯形.

5.-13

即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.

∵a,b不共线,∴1+3k=0,

6.证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,

∴AB=AM+AC

同理可证明AN=AC-AB=BC

∴AM,AN共线,又

∴M,A,N三点共线.

7.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1

∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103

(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.

与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+2

∴y=3x-b=3111a+211

8.D取AC的中点M(图略),则由OA+OC+3OB=0,得2OM=-3OB,所以2|OM|=3|OB|,点O在线段BM上.因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1

9.C因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则BP=λBC(0λ≤1),

则AP=AB+BP=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB+λ-AB

所以m=1-12

则1m+2n=11-1

当且仅当2-

故1m

10.75由平面向量的加法运算,有AC

因为AC=λAE+μAF=λ(AD+DE)+μ(AB+BF)=λAD+13AB+μAB+12AD=λ3

所以AB+

即1-λ3-μAB=λ+μ2-1AD.

∵AB,

∴λ3+μ=1,

11.解∵CP=

∴3CP=2CA+CB,即2CP-2

∴2AP=

∵A,M,Q三点共线,

∴设CM=xCQ+(1-x)CA=x2

又CB=AB-AC

又CP=AP-AC=

∴x2AB+

∴x2=t

12.解(1)∵AB=a,AO=b,A是BC的中点,∴AC=-a.

∴OC=

(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使CE=λCD.

∵CE=CO+OE=a+b+

CD=CB+BD=CB+

∴a+25b=λ53a+

∴不存在实数λ,满足CE=λCD.

∴C,D,E三点不共线.

13.解因为CB=b-a,CE=

所以AE=AC+

因为AF=12

所以BD=AD-AB=