湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 平面向量及其应用 1.5.1 数量积的定义及计算.docVIP

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1.5.1数量积的定义及计算

A级必备知识基础练

1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()

A.9 B.0 C.-3 D.-9

2.已知正方形ABCD的边长为3,DE=2EC,则AE·

A.3 B.-3 C.6 D.-6

3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AD·

A.12 B.1 C.3

4.已知a,b是非零向量,且a,b不共线,|a|=3,|b|=4,若向量a+kb与a-kb互相垂直,则实数k的值为()

A.±2 B.±12 C.±43

5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有()

A.|a·b|=|a||b|?a∥b

B.a,b反向?a·b=-|a||b|

C.a⊥b?|a+b|=|a-b|

D.|a|=|b|?|a·c|=|b·c|

6.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则AB·BC的值是

7.[人教A版教材习题]如图,在☉C中,是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度,就可以求出AB·

8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1.

(1)若a,b的夹角θ为π4

(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.

B级关键能力提升练

9.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π3

A.2 B.5 C.6 D.7

10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有()

A.a·c-b·c=(a-b)·c

B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直

C.|a|-|b||a-b|

D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

11.若向量a,b满足|a|=|b|=1,且a·(a-b)=12

A.π6 B.π3 C.2π

12.如图,在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?

13.[人教A版教材习题]如图,在△ABC中,AD=14AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设AB=a,AC

(1)用a,b表示CD,

(2)如果∠A=60°,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论.

C级学科素养创新练

14.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()

A.P1P

C.P1P

15.已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

1.5.1数量积的定义及计算

1.D由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.

2.A如图,因为正方形ABCD的边长为3,DE=2EC,

所以AE·BD=(AD+DE)·(AD-

=|AD|2-13AD·AB-23|AB

3.D设AB的长为a,因为AD=

所以AD·BE=BC·BE=BC·(BC+CE)=|

4.D因为向量a+kb与a-kb互相垂直,

所以(a+kb)·(a-kb)=0?a2-k2b2=0?9-16k2=0?k=±34

5.ABC∵a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),

∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,

∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.

若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.

设AB=a,AD=b,当a⊥b时,以AB,AD为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以AB,AD为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.

当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.

故D错误.

6.-1(方法1)AB·BC=|AB||BC|cos(180°-∠B)=-|AB||BC|cos∠B=-|AB||BC||AB

(方法2)|BA|=1,即BA为单位向量,AB·BC=-BA·BC=-|BA||BC|cos∠ABC,而|BC|cos

所以AB·BC=-|BA|

7.解只与弦AB的长度有关,与半径无关.理由如下:

设☉C的半径为r,AB的长度为2a,取AB的中点D,连接CD(图略),则CD⊥AB.

在Rt△ACD中,AD=a,AC=r,cos∠CAD=ar,所以AB·AC=2a·r·cos∠CAD=2ar·a

8.解(1)由已知,得a·b=|a||b|cosπ4=2×1×22=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|

所以|a+b|=5.

(2)因