3、第五章 导数及其应用 （压轴题专练）（解析版）_1.docx

第五章导数及其应用（压轴题专练）

填空题压轴

1．（2024上·上海·高一上海市宜川中学校考期末）已知函数和的表达式分别为，，设，现有如下四个命题：

①对任意实数，且，都有；??

②存在实数，且，都有；

③存在实数，且，都有；

④对任意实数,存在，，且，使得.

其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）

【答案】②③

【详解】①若，则在定义域内单调递增，

由为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故①错误；

②令，则，

，当时，此时，此时有两个不同实根，

不妨设为，，且，当和时，

，故在和上单调递增；

故存在和使

，故②正确；

④时，，此时，在定义域上单调递增，

至多有一个根，由此不存在，使得，故④错误；

③令，则，

，当时，，此时有两个不同实根，

不妨设为，且，当时，，故在上

单调递减，在，上单调递增，故一定存在，，使得

，即

故③正确.

故答案为：②③

2．（2023·上海宝山·统考一模）设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为.

【答案】

【详解】由题可设，，则

则

即，

即的最小值为到距离平方的最小值，

其中点在曲线上，在直线上，

的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，

设切点为，

因为曲线导数，则，解得，所以切点为，

所以，所以.

故答案为：.

3．（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是.

【答案】

【详解】设是在点处的切线，

因为曲线与函数的图像关于直线对称，

所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，

如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，

所以的方程为

故联立方程得，即，

则，即

所以，解得

所以的取值范围为.

故答案为：

4．（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若直线是指数函数（且）图象的一条切线，则底数.

【答案】或

【详解】设切点坐标为，函数，求导，

切线方程化成斜截式为

由题设知，显然，即

由，得，即，

即，

即，化简得，

令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或

即或，解得或

故答案为：或

5．（2023下·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为．

【答案】/4.5

【详解】∵，∴，，

设，，则点P在曲线上，Q在直线上，

设曲线上切线斜率为1的切点为，

，当时，，此时函数递增，当时，，函数递减，故当时，，

直线在曲线上方，由，即，

记，显然在上是增函数，而，∴是的唯一解．

，，点到直线的距离为，

∴的最小值为．

??

6．（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是.

【答案】

【详解】函数的定义域为，

因为函数存在4个零点，所以存在4个正实根，

即存在4个正实根，

即存在4个正实根，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上为增函数，在上为减函数，且时，，

所以函数的图象如图：

??

则，，化简得，

结合的图象，知道方程在内有两个互不相同的根，

记，

利用根的分布得，解得.

故答案为：.

7．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）设、是函数的两个极值点，若，则的最小值为

【答案】/

【详解】，，是的两个极值点，

∴，是关于的方程的两根且，

又当时，，方程不成立，

所以，，两式作商得到：，

所以，令，则，

令，，则，

令，，则，

所以在上单调递减，所以，

所以在上单调递减，则，

则

所以，，

令，，则恒成立，

所以在上单调递减，则，

所以，

则的最小值为．

故答案为：．

单选题压轴

1．（2023上·上海·高一校考阶段练习）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为函数定义域为关于原点对称，

且，

所以是定义在上的偶函数，

又，

当时，，则，所以在单调递增，

又，则，

且，则不等式可化为

，即，

且是定义在上的偶函数，在单调递增，

则，即，即，

所以，即实数的取值范围是.

故选：A

2．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论：

①在区间上优于；

②当时，在区间上优于．

那么（????）

A．①、②均正确 B．①正确，②错误

C．①错误，②正确 D．①、②均错误

【答案】B

【详解】①：当时，；当时，，

所以函数图象都经过点，

则直线的方程为，即，

在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，

由图可知，，

即存在使得在区间上恒成立，

所以在区间上优于，故①正确；

②：当时，

在同