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2024届江西省三新协作体高三下学期5月联考数学模拟考试试卷
一、单选题
(★★)1.抛物线的焦点坐标为
A.
B.
C.
D.
(★)2.“生活里没有书籍,就好像没有阳光;智慧里没有书籍,就好像鸟儿没有翅膀.”某学校开展书香校园活动,甲、乙两学生统计某一周内的读书时长数据.若学生甲一周内每天的读书时长(单位:小时)分别为,,…,,其均值和方差分别为和,学生乙该周内每天的读书时长均比学生甲多半个小时,则学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为()
A.,
B.,
C.,
D.,
(★)3.设随机变量若则等于()
A.
B.
C.
D.
(★★)4.设,,,则数列,,()
A.是等差数列,但不是等比数列
B.是等比数列,但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
(★★)5.已知函数,是的导函数,则()
A.1
B.2
C.
D.
(★★★)6.已知实数x,y满足:,则的最大值为()
A.
B.2
C.
D.5
(★★)7.已知函数和的导函数?图象分别如图所示,则关于函数的判断正确的是()
A.有3个极大值点
B.有3个极小值点
C.有1个极大值点和2个极小值点
D.有2个极大值点和1个极小值点
(★★★)8.已知函数(,)在处的切线斜率为,若在上只有一个零点,则的最大值为()
A.
B.
C.2
D.
二、多选题
(★★)9.公差为d的等差数列,其前n项和为,,,下列说法正确的有()
A.
B.
C.中最大
D.
(★★★)10.已知函数,给出下列四个结论,其中正确的是()
A.曲线在处的切线方程为
B.恰有2个零点
C.既有最大值,又有最小值
D.若且,则
(★★★)11.设圆,直线为上的动点,过点作圆的两条切线,切点为为圆上任意两点,则下列说法中正确的有()
A.的取值范围为
B.四边形面积的最大值为
C.满足的点有两个
D.的面积最大值为
三、填空题
(★)12.已知成对样本数据中互不相等,且所有样本点都在直线上,则这组成对样本数据的样本相关系数_________.
(★★★)13.已知函数,则的取值范围为_______
(★★)14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为和,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响.随机变量表示在3次活动中甲获胜的次数,则__;__.
四、解答题
(★★)15.已知函数
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围;
(★★★)16.已知正项数列的前项和为,且满足:,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(★★★)17.为了考察学生对高中数学知识的掌握程度,准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中,甲箱有2道概念叙述题,2道计算题;乙纸箱中有2道概念叙述题,3道计算题(所有题目均不相同).现有A,B两个同学来抽题回答;每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答,答完题目后不放回,再抽取一道题作答(不在题目上作答).两道题答题结束后,再将这两道题目放回原纸箱.
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题,则第二题抽到的是概念叙述题的概率;
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题,解答完后,误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答,若他从乙箱中抽取两道题目,求第一个题目抽取概念叙述题的概率.
(★★★★)18.某公园有一个矩形地块(如图所示),边长千米,长4千米.地块的一角是水塘(阴影部分),已知边缘曲线是以为顶点,以所在直线为对称轴的抛物线的一部分,现要经过曲线上某一点(异于,两点)铺设一条直线隔离带,点分别在边,上,隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘.设点到边的距离为(单位:千米),的面积为(单位:平方千米).
(1)请以为原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,求出关于的函数解析式;
(2)是否存在点,使隔离出来的的面积超过2平方千米?并说明理由.
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