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2025届北京市朝阳区东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题
(★)1.已知集合,则()
A.
B.
C.
D.
(★)2.若复数满足,则的共轭复数()
A.
B.
C.
D.
(★)3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()
A.
B.
C.
D.
(★★)4.设,,,则,,的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
(★★)5.已知,,则“”是“”()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(★★★)6.已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,能使成立的一组条件是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)7.已知函数,则下列命题正确的是()
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.在上为增函数
D.的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象
(★★)8.如图,在中,为边上的中线,若为的中点,则()
A.
B.
C.
D.
(★★★)9.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有规律的,他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间(小时)变化的趋势可由函数近似描述,则记忆率为时经过的时间约为()(参考数据:)
A.2小时
B.0.8小时
C.0.5小时
D.0.2小时
(★★★)10.已知等差数列的前项和为,若,且,则下列说法中正确的是()
A.为递增数列
B.当且仅当时,有最大值
C.不等式的解集为
D.不等式的解集为无限集
二、填空题
(★★)11.若角的终边经过点,则的值为.
(★)12.已知数列满足,则的前6项和为___________.
(★★)13.若函数,对任意的都满足,则常数的一个取值为_______.
(★★)14.已知正方形的边长为1,点满足,则的最大值为__________.
(★★★)15.设函数给出下列四个结论:①函数的值域是;②,方程恰有3个实数根;③,使得;④若实数,且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
(★★)16.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求在上的最大值和最小值.
(★★★)17.在中,.
(1)求;
(2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△存在且唯一确定,求△的面积.
条件①:;条件②:;条件③:△的周长为.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
(★★★)18.如图,已知四棱锥,底面是边长为的菱形,,侧面为正三角形,侧面底面,为侧棱的中点,为线段的中点
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求三棱锥的体积
(★★)19.已知函数.
(1)若,求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数在区间上的最大值;
(3)若在区间上恒成立,求的最大值.
(★★★)20.已知函数,.
(1)当时,
①求曲线在处的切线方程;
②求证:在上有唯一极大值点;
(2)若没有零点,求的取值范围.
(★★★★★)21.已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的,(),与至少有一个是数列中的项,则称数列具有性质.
(1)判断数列,,,是否具有性质,并说明理由;
(2)设数列具有性质,求证:;
(3)若数列具有性质,且不是等差数列,求项数的所有可能取值.
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