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2025届湖北省襄阳市宜城市第一中学高三上学期9月月考数学试卷
一、单选题
(★★)1.设,则曲线在点处的切线的斜率是()
A.
B.
C.1
D.4
(★★★)2.“或”是“幂函数在上是减函数”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(★★★)3.已知为正实数,且,则的最小值为()
A.
B.
C.
D.
(★★)4.函数的部分图象大致为().
A.
B.
C.
D.
(★★★)5.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海,”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是,一年后是;而把看作是每天的“退步”率都是,一年后是.这样,一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时,大约经过()(参考数据:)
A.70天
B.80天
C.90天
D.100天
(★★★)6.已知函数(且),若函数的值域为,则实数a的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)7.若,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)8.已知当时,恒成立,则实数a的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★★)9.下列命题正确的有()
A.函数定义域为,则的定义域为
B.函数是奇函数
C.已知函数存在两个零点,则
D.函数在上为增函数
(★★★)10.已知正数,满足,则下列结论正确的是()
A.的最大值为
B.的最小值为
C.的最小值为
D.的最小值
(★★★)11.已知是定义在上的偶函数,且对任意的,都有,当时,,则下列说法正确的是()
A.
B.点是函数的一个对称中心
C.当时,
D.函数恰有6个零点
三、填空题
(★★)12.已知,,若,则的取值范围为______.
(★★)13.记实数的最小数为,若,则函数的最大值为__________.
(★★★★)14.已知函数,若对任意,且,都有,则________.
四、解答题
(★★)15.设集合,.
(1)当时,求,;
(2)记,若集合的真子集有7个,求:所有实数的取值所构成的集合.
(★★★)16.已知函数,若曲线在处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)求函数的单调区间和极值;
(3)求函数在上的最大值、最小值.
(★★★)17.如图所示,一条笔直的河流(忽略河的宽度)两侧各有一个社区(忽略社区的大小),社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是,且.点是线段上一点,设.
现规划了如下三项工程:
工程1:在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥;
工程2:将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园,且每平方千米造价为亿元;
工程3:将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园,且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围;
(2)问点在何处时,最小,并求出该最小值.
(★★★)18.已知且,函数.
(1)求的定义域及其零点;
(2)讨论并证明函数在定义域上的单调性;
(3)设,当时,若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
(★★★★)19.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数存在正零点,
(i)求的取值范围;
(ii)记为的极值点,证明:.
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