专题15特殊三角形(精讲精练)(原卷版+解析).docxVIP

第15讲特殊三角形（精讲）

理解线段垂直平分线的概念

探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

了解等腰三角形的概念

探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合

探索并证明等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形

探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°

探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形

了解直角三角形的概念

探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余

探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

探索勾股定理、勾股定理的逆定理

能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题

探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理

了1/2解三角形重心的概念

TOC\o1-2\h\u第15讲特殊三角形（精讲） 1

考点1：等腰三角形及其计算 2

考点2：等边三角形及其计算 15

考点3：角平分线与垂直平分线 26

考点4：直角三角形及其计算 40

课堂总结：思维导图 62

分层训练：课堂知识巩固 63

考点1：等腰三角形及其计算

（1）性质

①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.

（2）判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；

②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.

｛等腰三角形的性质★｝如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到杆脚的距离相等，且，，在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是

A．等边对等角 B．等角对等边

C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”

｛等腰三角形的性质★｝如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为

A．7 B．8 C．9 D．10

｛等腰三角形的性质★★｝如图，在中，平分，，，，则的周长为

A． B． C． D．

｛等腰三角形的性质★★｝如图，已知，，，且，则．

｛等腰三角形的性质★★｝中，，且上的中线把这个三角形的周长分成了和的两部分，求这个三角形的腰长．

｛等腰三角形的性质★★★｝如图，在中，，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是．

｛等腰三角形的性质★★★｝在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在轴上确定一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点有个．

｛等腰三角形的性质★★｝“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是．

｛等腰三角形的性质★★★｝若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则一个底角为．

｛等腰三角形的性质★★★｝在中，，，，在射线上有一点，若以、、为顶点的三角形恰为等腰三角形，则．

｛等腰三角形的性质★★｝如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有个．

｛等腰三角形的性质★★｝如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，，则．

｛等腰三角形的性质★★｝如图，以等边的边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为．

｛等腰三角形的性质★★｝（2020秋?崇川区校级期中）已知：如图，中，平分，平分，过作直线平行于，交、于、．求证：

（1）是等腰三角形；（2）．

（2021?本溪）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为

A． B． C． D．4

（2020?福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于

A．10 B．5 C．4 D．3

（2020?自贡）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是

A． B． C． D．

（2021?牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．

（2021?绍兴）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是．

考点2：等边三角形及其计算

（1）性质

①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.

即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或