湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练50 球与几何体的切、接问题.docVIP

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课时规范练50球与几何体的切、接问题

基础巩固练

1.(天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()

A.12π B.24π C.36π D.144π

2.已知某封闭的直三棱柱各棱长均为2,若三棱柱内有一个球,则该球表面积的最大值为()

A.4π3 B.8π3 C.4π

3.(浙江余姚模拟)在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为6的等腰三角形,则正四棱锥S-ABCD的外接球的体积为()

A.27π2 B.9π C.9π

4.在三棱锥P-ABC中,已知PA=BC=213,AC=PB=41,PC=AB=61,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()

A.77π B.64π C.108π D.72π

5.《九章算术》卷五《商功》中有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高四丈.”意思是:今将粟放在平地,谷堆下周长12丈,高4丈.将该谷堆模型看作一个圆锥,π取近似值3,则该圆锥外接球的表面积约为()

A.55平方丈 B.75平方丈

C.110平方丈 D.150平方丈

6.已知△ABC的顶点都在球O的球面上,且A=60°,BC=3,球心O到平面ABC的距离为2,则球O的表面积为()

A.12π B.16π C.20π D.25π

7.(多选题)正三棱锥P-ABC的底面边长为3,高为6,则下列结论正确的是()

A.AB⊥PC

B.三棱锥P-ABC的表面积为93

C.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为27π

D.三棱锥P-ABC的内切球的表面积为3π

8.将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为.?

9.(陕西汉中模拟)在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积是.?

10.SF6(六氟化硫)具有良好的绝缘性,在电子工业上有着广泛的应用,其分子结构如图所示,六个氟原子分别位于正方体六个面的中心,硫原子位于正方体中心,若正方体的棱长为a,记以六个氟原子为顶点的正八面体为T,则T的体积为,T的内切球表面积为.?

综合提升练

11.已知球O的表面积为9π,若球O与正四面体S-ABC的六条棱均相切,则此四面体的体积为 ()

A.9 B.32

C.922

12.已知正三棱锥的外接球半径R为1,则该正三棱锥的体积的最大值为()

A.16327 B.34 C.

13.(全国甲,文16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是.?

14.(甘肃二诊)三棱锥P-ABC中,底面为等边三角形,侧棱长相等,∠APB=90°,P到底面ABC的距离为2,则该三棱锥外接球的体积为.?

创新应用练

15.独孤信印信是一枚形状奇特的印信(如图1),它的形状可视为一个26面体,由18个正方形和8个正三角形围成(如图2),已知该多面体的各条棱长均为1,且各个顶点在同一球面上,则此球的半径r=.?

图1

图2

课时规范练50球与几何体的切、接问题

1.C解析这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即R=(23)2+(

2.A解析设底面三角形的内切圆的半径为r,则12×(2+2+2)·r=12×2×2sinπ3=3,解得r=

3.C解析如图所示,不妨设该四棱锥外接球的球心O在线段SE上,球心O在线段SE的延长线的情况可同理讨论.设球的半径为R.三棱锥的底面中心为E,连接SE,BO,BE.因为在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为6的等腰三角形,所以BE=2,SE=SB2-BE2=2.在Rt△OBE中,OB2=OE2+BE2,即R2=(2-R)2+(2)2,解得R=32.球心O在线段SE的延长线上时,可得R2=(R-2)2+(2)2

4.A解析因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它补成一个长方体.设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对角线长为213,41,61,则a2+b2=2

5.B解析设外接球球心为O,底面圆心为O,设底面圆的半径为r,因为谷堆下周长12丈,所以2πr=12,所以r≈2.

设外接球半径为R,则OO=4-R.

由勾股定理得(4-R)2+22=R2,解得R=52,所以该圆锥外接球的表面积约为4πR2

6.C解析因为△ABC外接圆的半径r满足2r=BCsinA=332=2,所以r=1,因此球半径R满足R2=r2

7.ABD解析如图,取棱AB的