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江西省吉安市安福中学2025届高三第十次模拟考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是()
A. B. C. D.
2.已知集合,定义集合,则等于()
A. B.
C. D.
3.设,命题“存在,使方程有实根”的否定是()
A.任意,使方程无实根
B.任意,使方程有实根
C.存在,使方程无实根
D.存在,使方程有实根
4.函数图像可能是()
A. B. C. D.
5.已知集合,,则集合子集的个数为()
A. B. C. D.
6.已知无穷等比数列的公比为2,且,则()
A. B. C. D.
7.已知向量,,则向量与的夹角为()
A. B. C. D.
8.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()
A. B. C.3 D.4
9.设函数的定义域为,命题:,的否定是()
A., B.,
C., D.,
10.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()
A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]
11.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?()
A. B. C. D.
12.若a>b>0,0<c<1,则
A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.
14.已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为________.
15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.
16.函数过定点________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程;
(2)设射线与曲线交于不同于极点的点,与曲线交于不同于极点的点,求线段的长.
18.(12分)已知.
(1)已知关于的不等式有实数解,求的取值范围;
(2)求不等式的解集.
19.(12分)如图,在四棱锥中,,,.
(1)证明:平面;
(2)若,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论函数的极值;
(2)记关于的方程的两根分别为,求证:.
22.(10分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团,由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照,,,,分成5组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科方向”学生,低于60分的称为“理科方向”学生.
理科方向
文科方向
总计
男
110
女
50
总计
(1)根据已知条件完成下面列联表,并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关?
(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“文科方向”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、期望和方差.
参考公式:,其中.
参考临界值:
0.10
0.05
0.025
0.
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