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广西桂林市国龙外国语学校2024届高三下学期模拟考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.集合,则下列选项正确的是(????)
A. B.
C. D.
2.从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数,这样的数有(????)个.
A.24 B.30 C.36 D.60
3.若古典概型的样本空间,事件,事件,相互独立,则事件可以是(????)
A. B. C. D.
4.已知实数a,b,c满足,,,则(????)
A. B. C. D.
5.若,则(????)
A. B. C.2 D.
6.已知是双曲线的左、右焦点,过作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为,且,则双曲线的离心率为(????)
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(????)
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为R,且,若,则函数(????)
A.以为最小正周期
B.最大值是1
C.在区间上单调递减
D.在处的切线方程是
二、多选题
9.已知,是纯虚数,为的共轭复数,且(i为虚数单位),则(????)
A. B.
C. D.是方程的一个根
10.某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于80,90内的学生成绩方差为12,成绩位于内的同学成绩方差为10.则(????)
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32
11.已知直线和平面与所成锐二面角为.则下列结论正确的是(????)
A.若,则与所成角为
B.若,则与所成角为
C.若,则与所成角最大值为
D.若,则与所成角为;
三、填空题
12.已知单位向量,的夹角为,,若与垂直,则.
13.设点在抛物线上,已知.若,则;若,则直线斜率的最小值为.
14.已知中,内角,AD为内角的平分线(D在边BC上),设和的面积分别为,则的最大值为.
四、解答题
15.小张参加某公司的招聘考试,题目按照难度不同分为A类题和B类题,小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型:一个箱子里装有质地,大小一样的5个球,3个标有字母A,另外2个标有字母B,小张从中任取3个小球,若取出的球比球多,则答类题,否则答类题.
(1)设小张抽到球的个数为,求的分布列及.
(2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题,B类题里有3道论述题和2道计算题,小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.求小张回答论述题的概率;
16.如图,几何体中,和均为等边三角形,平面平面,为中点.
(1)证明:与不是异面直线;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17.设数列an的前项和为,已知,且.
(1)证明:为等比数列,并求数列an的通项公式;
(2)定义函数,其中x表示不超过的最大整数,如,设,数列的前项和为,求除以16的余数.
18.函数图象与轴的两交点为
(1)令,若hx有两个零点,求实数的取值范围;
(2)证明:;
(3)证明:当时,以为直径的圆与直线恒有公共点.
(参考数据:)
19.已知椭圆C:过定点,过点的两条动直线交椭圆于Ax1,y1,Bx2,y
(1)设是椭圆的动点,过点作直线的垂线为垂足,求.
(2)在中,记,若直线AB的斜率为,求的最大值.
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参考答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
A
C
D
A
D
ACD
BC
题号
11
答案
AD
1.A
【分析】求出的值域和中的范围,得出的具体范围,再根据集合的交集、并集运算即可求解.
【详解】,
则,
所以,
,
则,解得,
所以,
所以,.
故选:.
2.B
【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况,有0时再考虑0的排法,根据分类加法原理,即可求得答案.
【详解】若从0,1,2,3,4中选出3个数中没有0,
则组成各位数字不重复的三位偶数有个;
若
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