北京市大兴区市级名校2023-2024学年高三下期期中考试数学试题.doc

北京市大兴区市级名校2022-2023学年高三下期期中考试数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，若，则a的取值范围为（）

A． B． C． D．

2．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）

A． B． C． D．

3．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（）

A． B． C． D．

4．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

5．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A．正方体 B．球体

C．圆锥 D．长宽高互不相等的长方体

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A． B． C． D．

7．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）

A． B． C． D．

8．设，则（）

A． B． C． D．

9．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（）

A． B． C． D．

10．若函数在时取得极值，则（）

A． B． C． D．

11．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

12．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()

A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B．这五年，2015年出口额最少

C．这五年，2019年进口增速最快

D．这五年，出口增速前四年逐年下降

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．

14．已知角的终边过点，则______.

15．设集合，，则____________.

16．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在正四棱柱中，已知，.

（1）求异面直线与直线所成的角的大小；

（2）求点到平面的距离.

18．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.

19．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．

Ⅰ求证：平面PBD；

Ⅱ求证：．

20．（12分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.

（1）求a；

（2）讨论函数和的单调性；

（3）设，求证：.

21．（12分）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.

22．（10分）在四边形中，，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：

（1）平面平面；

（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．

【详解】

由得，

在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，

∴由得，解得．

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．

2．D

【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.

【详解】

设等比数列的公比为，则，

由题意得，，得，解得，

得.

当时，；当