第九章-曲线积分与曲面积分习题解答(详细讲解).pdfVIP

曲线积分与曲面积分习题详解

习题9-1

1计算以下对弧长的曲线积分：

(1)/泡，其中C是抛物线=f上点0(0,0)到A(l,l)之间的一段弧;

解：由于C由方程

2

=x(0xl)

给出，因此

2

/=L4由=£+(x2)dx=£x/l+4xdx

=—(1+4X2)3/2=-(5^-1).

XdS,其中。是圆/+2=1中A(0,1)至

⑵1=c之间的一段劣弧;

解：C=A8的参数方程为：

x=cos。,=sin0(一?0^),于是

22

/=|cos0y](-sin0)+cosOdd

=「cose〃e=i+3.

⑶Rcr++l)由，其中C是顶点为0(0,0),A(l,0)及3(0,1)的三角形的边界;

解：L是分段光滑的闭曲线，如图9-2所示，根据积分的可加性,

那么有

外(1++1)办

由于。4：=0,0xl,于是

2222

ds=./(—)+(—)dx=Vl+0dx=dx,

Vdxdx

故I)\(X++)ds=J。(x+0+V)dx=,

而AB:y=\-x,0xl,于是

2222

ds=J(—)+(—)dx=J+(-)dx=gdx.

\dxdx

故

Y\\[2dx=2拒,

h(x++l)ds=J。[x+(1-x)+

2222

同理可知3O:x=0(01),ds=/(—)+(—)rf=Vo+1J=dy,那么

\dydy

Ja。a+)+1)=J。1°+)+‘1=2,

综上所述心(x-+1)/-=|+2五+|=3+2后.

22

(4)j)sjx+yds,其中C为圆周/+尸=》；

c

r

解直接化为定积分.q的参数方程为

x=—+—cos