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2024—2025学年云南省昆明市第十四中学高二上学期九月月考数学试卷
一、单选题
(★★)1.记复数的共轭复数为,若,则()
A.1
B.
C.2
D.
(★★★)2.设向量,则()
A.“”是“”的必要条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件
D.“”是“”的充分条件
(★★)3.定义运算:.已知,则()
A.
B.
C.
D.
(★★)4.若直线过点,倾斜角为,则点到直线的距离为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)5.设为两个平面,为两条直线,且.下述四个命题:
①若,则或②若,则或
③若且,则④若与,所成的角相等,则
其中所有真命题的编号是()
A.①③
B.②④
C.①②③
D.①③④
(★★)6.圆与直线相交所得弦长为()
A.1
B.
C.
D.
(★★)7.过点,,且圆心在直线上的圆的方程是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)8.沙漏是古代的一种计时仪器,根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图,沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体,下方的容器中装有沙子,沙子堆积成一个圆台,若该沙漏高为6,沙子体积占该沙漏容积的,则沙子堆积成的圆台的高()
A.1
B.
C.
D.
二、多选题
(★★★)9.一光线过点,经倾斜角为的且过的直线反射后过点,则反射后的光线还经过下列哪些点()
A.
B.
C.
D.
(★★)10.已知圆C:及点,则下列说法中正确的是()
A.圆心C的坐标为
B.点Q在圆C外
C.若点在圆C上,则直线PQ的斜率为
D.若M是圆C上任一点,则的取值范围为
(★★★)11.如图,正方体的棱长为1,E为棱的中点,P为底面正方形ABCD内(含边界)的动点,则()
A.三棱锥的体积为定值
B.直线平面
C.当时,
D.直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
(★★★)12.在中,角的对边分别为,且的面积为,,则____________.
(★)13.端午节是我国传统节日,甲,乙,丙3人端午节来常州旅游,若甲、乙2人中至少有1人来常州旅游的概率是,丙来常州旅游的概率是,假定3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内甲,乙,丙3人中至少有1人来常州旅游的概率为________.
(★★★)14.已知点,,平面内的动点满足,则点的轨迹形成的图形周长是______.
四、解答题
(★★★)15.已知中,角所对的边分别为,其中.
(1)求的值;
(2)若的面积为,周长为6,求的外接圆面积.
(★★★)16.已知直线,.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为,求a的值;
(2)当时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l的方程.
(★★★)17.如图,在正四棱柱中,.点分别在棱,上,.
(1)证明:;
(2)点在棱上,当二面角为时,求.
(★★★)18.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值;
(2)已知,,求九年级中女生比男生少的概率;
(3)已知,在全校学生中随机抽取一名学生,则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少?
(★★★)19.如图,在四棱锥中,,,,,,,且O是AD的中点.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)若四棱锥体积为,求二面角的正弦值;
(3)若二面角的大小为,求直线PB与平面PAD所成角的余弦值.
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