平面向量知识点总结及习题.docx

平面对量学问点汇总

根本学问回忆：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----(几何表示法)；

②用字母、等表示(字母表示法)；

③平面对量的坐标表示〔坐标表示法〕：

分别取及轴、轴方向一样的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面对量根本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的〔直角〕坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特殊地，，，。；假设，，则，

3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.〔注：就是单位向量〕

4.平行向量：

①方向一样或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定、、平行，记作∥∥.共线向量及平行向量关系：平行向量就是共线向量.

性质：是唯一〕

〔其中〕

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.

②垂直向量——两向量的夹角为

性质：

〔其中〕

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

平行四边形法则：

〔起点一样的两向量相加，常要构造平行四边形〕

三角形法则

——加法法则的推广：……

即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……

②向量的减法向量加上的相反向量，叫做及的差。即：?=+(?)；

差向量的意义：=,=,则=?

③平面对量的坐标运算：假设，，则，，。

④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+)+=+(+)

⑤常用结论：

〔1〕假设，则D是AB的中点

〔2〕或G是△ABC的重心，则

7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为||或||

2、模的求法：

假设，则||

假设，则||

3、性质：

〔1〕；〔实数及向量的转化关系〕

〔2〕，反之不然

〔3〕三角不等式：

〔4〕〔当且仅当共线时取“=〞〕

即当同向时，；即当同反向时，

〔5〕平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

即

8．实数及向量的积：实数λ及向量的积是一个向量，记作：λ

〔1〕|λ|=|λ|||；

〔2〕λ0时λ及方向一样；λ0时λ及方向相反；λ=0时λ=；

〔3〕运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

交换律：;

支配律：

()·=(·)=·();

——①不满意结合律：即

②向量没有除法运算。如：，都是错误的

〔4〕两个非零向量，它们的夹角为，则

=

坐标运算：，则

〔5〕向量在轴上的投影为：

︱︱，〔为的夹角，为的方向向量〕

其投影的长为〔为的单位向量〕

〔6〕的夹角和的关系：

〔1〕当时，同向；当时，反向

〔2〕为锐角时，则有；为钝角时，则有

9．向量共线定理：

向量及非零向量共线〔也是平行〕的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。

10．平面对量根本定理：

假设，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

(1)不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进展分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。

向量坐标及点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即假设A(x，y)，则=〔x,y〕；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即假设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，则=(x2-x1,y2-y1)

11.向量和的数量积：

①·=||·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。

②||cos称为在的方向上的投影。

③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数〔可正、可负、也可是零〕，而不是向量。

④假设=〔，〕,=〔x2，〕,则

⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ〔a·b〕，〔a+b〕·c=a·c+b·c。

⑥和的夹角公式：cos=＝

⑦||2=x2+y2，或||=⑧|a·b|≤|a|·|b|。

12.两个向量平行的充要条件：

符号语言：假设∥，≠，则=λ

坐标语言为：设=〔x1,y1〕，=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0

在这里，实数λ是唯一存在的，当及同向时，λ0；当及异向时，λ0。

|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号及大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

13.两个向量垂直的充要条件：

符号语言：⊥·=0

坐标语言：设=(x1,y1),=(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0

平面对量