直线与圆知识归纳.docx

直线与圆

◆学问点归纳

直线与方程

直线的倾斜角

规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为

范围：直线的倾斜角的取值范围为

2.斜率：，

斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为

直线方程的几种形式

名称

方程

说明

适用条件

斜截式

是斜率

是纵截距

与轴不垂直的直线

点斜式

是直线上的点

两点式

是直线上的两个点

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式

是直线的横截距

是直线的纵截距

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式

当时，直线的横截距为

当时，分别为直线的斜率、横截距，纵截距

全部直线

实力提升

斜率应用

且，则的大小关系

满意，试求的最大值与最小值

两直线位置关系

两条直线的位置关系

位置关系

平行

，且

(A1B2-A2B1=0)

重合

，且

相交

垂直

设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或

直线间的夹角：

①假设为到的角，或；

②假设为与的夹角，则或；

③当或时，；直线到的角与与的夹角：或；

间隔问题

1.平面上两点间的间隔公式则

2.点到直线间隔公式

点到直线的间隔为：

3.两平行线间的间隔公式

两条平行线直线与的一般式方程为：，

：，则与的间隔为

4.直线系方程:假设两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或

+(λ为常数)

对称问题

1.中点坐标公式：点，则中点的坐标公式为

点关于的对称点为，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

轴对称：点关于直线的对称点为，则有，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。

〔1〕中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在直线上取两点，利用中点公式求出它们关于点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的间隔相等。求出直线方程。

如：求与直线关于点对称的直线的方程。

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在直线上，点与对称点连线斜率是直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点关于直线对称的坐标。

②直线关于直线对称：〔设关于对称〕

Ⅰ、假设相交，则到的角等于到的角；假设，则，且与的间隔相等。

Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设为所求直线直线上的随意一点，则关于的对称点的坐标相宜的方程。

如：求直线关于对称的直线的方程。

实力提升

到直线的最大间隔为

，在直线与上各找一点与，使的周长最短，并求出周长。

线性规划问题：

〔1〕设点与直线，

①假设点在直线上，则；②假设点在直线的上方，则；

③假设点在直线的下方，则；

〔2〕二元一次不等式表示平面区域：

对于随意的二元一次不等式，

①当时，则表示直线上方的区域；

表示直线下方的区域；

②当时，则表示直线下方的区域；

表示直线上方的区域；

留意：通常状况下将原点代入直线中，依据或来表示二元一次不等式表示平面区域。

〔3〕线性规划：

求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满意线性约束条件的解叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域。消费实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题。

留意：①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；

直线向下平移，则的值越来越小；

②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；

直线向下平移，则的值越来越大；

xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如下图的坐标平面的可行域内〔阴影部分且包括周界〕，目的函数获得最小值的最优解有多数个，

x

y

O

A(1,1)

B(5,1)

C(4,2)

〔1〕设点与直线，

①假设点在直线上，则；②假设点在直线的上方，则；

③假设点在直线的下方，则；

〔2〕二元一次不等式表示平面区域：

对于随意的二元一次不等式，

①当时，则表示直线上方的区域；

表示直线下方的区域；

②当时，则表示直线下方的区域；

表示直线上方的区域；

留意：通常状况下将原点代入直线中，依据或来表示二元一次不等式表示平面区域。

〔3〕线性规划：

求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满意线性约束条件的解叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域。消费实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题。

留意：①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；

直线向下平移，则的值越来越小；

②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；

直线向下平移，则的值越来越大；

xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如下图的坐标平面的可行域内〔阴影部分且包括周界〕，目的函数获得最小值的最优解有多数个，

x

y

O