第三章 不等式（知识归纳+题型突破）（原卷版）_1.docx

第三章不等式（知识归纳+题型突破）

1．掌握基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a≥0，b≥0)．

2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题．

3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值．

4．能够利用基本不等式解决实际问题．

5．了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系．

6．会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况．

7．理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系．

8．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．

9．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

10．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．

1．等式的性质

性质1如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质2如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质3如果a＝b，那么ac＝bc；eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0)．

2．不等式的性质

性质1如果ab，那么ba；如果ba，那么ab，即ab?ba．

性质2如果ab，bc，那么ac，即ab，bc?ac．

性质3如果ab，那么a＋cb＋c．

性质4如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc．

性质5如果ab，cd，那么a＋cb＋d．

性质6如果ab0，cd0，那么acbd．

性质7如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．

3．基本不等式

(1)如果a，b是正数，那么eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(当且仅当a＝b时等号成立)．

我们把不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)称为基本不等式．

(2)当a，b∈R时，ab≤eq\f(a2＋b2,2)(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(当且仅当a＝b时等号成立)．

4．基本不等式与最大(小)值

对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值．(2)取等号的条件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝b时，\r(ab)＝\f(a＋b,2)))．

5．利用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：

①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．注意“1”的代换．

6．二次函数的零点

一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．

7．二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a0时)

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

方程ax2＋bx＋c＝0的根

有两个相异实根x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)

两相等实数x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实根

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象

二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点

有两个零点x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)

有一个零点x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

无零点

8．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式．

一元二次不等式与二次函数有什么关系？

一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．

9．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

10．利用不等式解决实际问题的