第三章 函数的概念与性质（11大知识归纳+22大题型突破）（原卷版）_1.docx

第三章函数的概念与性质

（知识归纳+题型突破）

1.了解函数的概念、会求函数的定义域、解析式及值域．

2.熟练掌握函数的性质，会利用函数的单调性及奇偶性求解相关问题．

3.理解函数的对称性及周期性，并会函数性质的简单应用．

4.了解并掌握幂函数的相关性质.

5.掌握函数的应用

函数的概念

设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作

其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。

区间的概念

定义

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

[a，b]

{x|a＜x＜b}

(a，b)

{x|a≤x＜b}

[a，b)

{x|a＜x≤b}

(a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|x＜a}

(－∞，a)

R

(－∞，＋∞)

函数的三要素（定义域、值域、对应关系）

在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。

函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

(3)函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

单调性的常见运算

单调性的运算

①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗

②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘

③为↗，则为↘，为↘

④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗

⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘

⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）

复合函数的单调性

奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）

②奇偶性的定义：

奇函数：，图象关于原点对称

偶函数：，图象关于轴对称

③奇偶性的运算

周期性（差为常数有周期）（拓展）

①若，则的周期为：

②若，则的周期为：

③若，则的周期为：（周期扩倍问题）

④若，则的周期为：（周期扩倍问题）

对称性（和为常数有对称轴）（拓展）

轴对称

①若，则的对称轴为

②若，则的对称轴为

点对称

①若，则的对称中心为

②若，则的对称中心为

周期性对称性综合问题（拓展）

①若，，其中，则的周期为：

②若，，其中，则的周期为：

③若，，其中，则的周期为：

奇偶性对称性综合问题（拓展）

①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：

②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：

幂函数

幂函数的定义及一般形式

形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数

幂函数的图象和性质

①幂函数的单调性

②幂函数的奇偶性

题型一图象法表示函数

【例1】（1）（2023秋·广东广州·高一校联考期末）下列四个图象中，不是函数图象的是（????）

A． B．

C． D．

（2）（2022秋·黑龙江黑河·高一校联考期末）（多选）下列各图中，不可表示函数的图象的是（????）

A． B．

C． D．

巩固训练：

1．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考期末）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（????）

A． B．

C． D．

题型二求函数值

【例2】（1）（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）定义在上的函数满足（），，则等于

A．2 B．3 C．6 D．9

（2）（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知函数，且，那么=.

（3）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知，那么＝．

巩固训练

1．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，则的值为.

2．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知函数满足，则.

3．