九年级数学上册专题九+圆周角定理的综合运用同步测试+新人教版含答案.pdfVIP

圆周角定理的综合运用

一巧作辅助线求角度

(教材P89习题24.1第7题)

求证：圆内接平行四边形是矩形．

已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．

求证：平行四边形ABCD是矩形．

图1

证明：∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形对角互补)

又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)

∴∠A＝∠C＝90°

所以圆内接平行四边形是矩形．

如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A)

A．40°B．45°C．50°D．60°

图2

变形1答图

【解析】如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝

180°－∠BOC

＝40°.

2

如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD

＋∠OCD＝__60°__．

图3

变形2答图

【解析】

如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠

B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠

ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠

OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.

[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．

︵

【解析】在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，

1

∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30°.

2

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.

图4

图5

如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(A

)

A．35°B．45°C．55°D．75°

如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)求圆心O到BC的距离OD.

解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，

又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，

∴△ABC是等边三角形；

(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝

111

(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.

222

图6

变形5答图

二圆周角定理与垂径定理的综合

(教材P89习题24.1第5题)

如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．

图7

︵︵1

解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.

ACAB

2

【思想方法】

垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径

定理求解．

如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝33

cm，则弦AB的长为(A)

图8

A．9cmB．33c