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2024—2025学年浙江省杭州第十四中学高三上学期九月月考数学试卷
一、单选题
(★★)1.已知集合,,则()
A.
B.
C.
D.
(★)2.已知a,b都是实数,那么“”是“ab”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(★★)3.已知向量,,若,则实数的值为()
A.
B.2
C.
D.
(★★★)4.已知定义在上的奇函数满足:的图象是连续不断的且为偶函数.若有,则下面结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
(★★)5.某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人,得到其粉丝数据(单位:万人):.若该平台自媒体人的粉丝数(其中和分别为上述样本的平均数和标准差),根据上述数据,则下列说法中正确的个数是()
(1)这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0;
(2)这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04;
(3)这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8;
(4)用样本估计总体,该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135.
(附:若随机变量服从正态分布,则,)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题
(★★)6.已知,则()
A.
B.
C.
D.
三、单选题
(★★★)7.现有三对双胞胎共6人排成一排,则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是()
A.180
B.240
C.288
D.300
(★★★)8.已知函数,若,则的最小值为()
A.
B.
C.
D.1
四、多选题
(★★)9.已知函数,给出下列四个选项,正确的有()
A.函数的最小正周期是
B.函数在区间上是减函数
C.函数的图象关于点对称
D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位得到
(★★★)10.如图,两个共底面的正四棱锥组成一个八面体,且该八面体的各棱长均相等,则()
A.异面直线AE与BC所成的角为
B.
C.平面平面CDE
D.直线AE与平面BDE所成的角为
(★★★)11.已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆,点是椭圆与其长轴的一个交点,点是椭圆与其短轴的一个交点,点和为其焦点,.点在椭圆上,若,则()
A.成等差数列
B.成等比数列
C.椭圆的离心率
D.的面积不小于的面积
五、填空题
(★★)12.已知抛物线的焦点为,点在上,且点到直线的距离为,则__________.
(★★★)13.已知复数z满足,则的取值范围为______.
(★★★)14.定义:表示不大于的最大整数,表示不小于的最小整数,如,.设函数在定义域上的值域为,记中元素的个数为,则________,_______
六、解答题
(★★)15.已知分别为三个内角的对边,且,.
(1)求及的面积S;
(2)若为边上一点,且,求的正弦值.
(★★)16.2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行,会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测,检测合格后方可销售,其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试,测试的结果只有三种等次:优秀、良好、合格,优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分,该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为,良好的概率为;在续航测试中结果为优秀的概率为,良好的概率为,两项测试相互独立,互不影响,该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率;
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
(★★★★)17.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)证明:.
(★★★)18.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)直线交于两点.
(i)点关于原点的对称点为,直线的斜率为,证明:为定值;
(ii)若上存在点使得在上的投影向量相等,且的重心在轴上,求直线的方程.
(★★★★)19.给定数列,若对任意m,且,是中的项,则称为“H数列”.设数列
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