湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 平面向量及其应用 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算.docVIP

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1.5.2数量积的坐标表示及其计算

A级必备知识基础练

1.(多选题)设向量a=(1,0),b=12

A.|a|=|b| B.a·b=2

C.a∥b D.a-b与b垂直

2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·

A.-3 B.-2 C.2 D.3

3.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·

A.4 B.-4 C.2 D.-2

4.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则AE·

A.[2,14] B.[0,12]

C.[0,6] D.[2,8]

5.[四川模拟]已知向量a=(x+1,3),b=(1,0),a·b=-2,则向量a+b与b的夹角为.?

6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.?

7.[河南期中]已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).

(1)求a+2b的坐标与|a-b|;

(2)求向量a与a-b的夹角的余弦值.

8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:AB⊥AD;

(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.

B级关键能力提升练

9.[辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=()

A.-5 B.-3 C.3 D.5

10.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为()

A.3 B.5 C.7 D.8

11.[北京西城校级期中]已知点P(cosθ,sinθ),点A(-2,0),O为原点,则AO·AP的最小值为

12.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|

(1)求AD·

(2)判断AE·

13.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).

(1)若α=π4

(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4

C级学科素养创新练

14.已知△ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=90°,BE=3EC,若P是边BC上的动点,则AP·AE的取值范围是

15.在平面直角坐标系=(22,-22),n=(sin

1.5.2数量积的坐标表示及其计算

1.ABCA项,|a|=1,|b|=22

B项,a·b=1×12+0×1

C项,1×12≠0×1

D项,a-b=12,-1

2.C由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12

3.A如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC-

故AD·

4.A建立平面直角坐标系,如图,A(0,0),E(23,1),

设F(x,2)(0≤x≤23),

所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=2

设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,

则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·

5.2π3a=(x+1,3

则x+1=-2,解得x=-3,

故a+b=(-1,3),

则cosa+b,b=(a+b)·b

又a+b,b∈[0,π],则a+b,b=2π3

6.2a·b=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y

∵a与b的夹角为45°,

∴cos45°=a·

解得y=2或y=-12

7.解(1)a=(-1,2),b=(3,-1),

则a+2b=(5,0),a-b=(-4,3),

所以|a-b|=(-4

(2)a=(-1,2),a-b=(-4,3),

则a·(a-b)=10,|a|=1+4=

故cosa,a-b=a·(

8.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴AB=(1,1),AD=(-3,3).又AB·AD=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD,

(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,∴

设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).

又AB=(1,1),∴x+1=1,y

∴点C的坐标为(0,5).

∴AC=(-2,4),BD=(-4,2),

∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.设AC与

9.B∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),

则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.

10.B如图,以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,

则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),

所以|PA+3PB|=25+(