2、第五章 导数及其应用 单元复习提升（4大易错与4大拓展）（解析版）_1.docx

第五章导数及其应用（4大易错与4大拓展）

易错点1忽略切点所在位置

【指点迷津】求切线方程时应注意看清题意时在点处（点为切点）还是过点（此时一般把认为是非切点，而重新设出切点）

典例1（2024·全国·高三专题练习）过点作曲线的切线，则切线的方程为.

【答案】或

【详解】，则．

设切点坐标为，则切线斜率为，

切线方程为，

代入点，得，即，解得或．

当时，切线方程为；当时，切线方程为．

故答案为：或

典例2．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知曲线，

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求过点且与曲线相切的直线方程.

【答案】(1)

(2)或

【详解】（1）解：由函数，可得，可得，

即曲线在点处的切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）解：因为点不在曲线上，

设切点为，所以，

所以切线方程为，

又因为在直线上，所以，

即，解得或.

当切点为时，切线方程为；

当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，

综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.

跟踪训练1（2023上·上海·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)求函数过点的切线；

【答案】(1)

(2)或

【详解】（1）由题意得，的定义域为，

，

令，解得，或（舍去）；，解得，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以

（2）设切点为，切线的斜率，

所以，

因为直线过点，所以，又，

解得或，

所以直线方程为或

跟踪训练2（2024上·山西长治·高二统考期末）已知.

(1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；

【答案】(1)1

【详解】（1）由题意可得：，

设切点坐标为，

则切线斜率为，即，

可得切线方程为，

将，代入可得，

整理得，

因为在内单调递增，

则在定义域内单调递增，且当时，，

可知关于的方程的根为1，即，

所以.

易错点2求函数单调区间忽略了定义域

【指点迷津】求函数单调区间注意先求定义域，特别是选填题型，更容易忽视定义域而至错

典例1（2024上·山西大同·高二统考期末）函数的单调递减区间是（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由函数，可得其的定义域为，且，

令，解得，所以函数的单调递减区间是．

故选：B．

典例2（2023下·陕西汉中·高二校考期中）函数的单调递减区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】函数的定义域为，

，

因为，可得，解得，可得，

因此，函数的单调递减区间为.

故选：D.

跟踪训练1（2023上·甘肃·高三校考阶段练习）函数的单调递减区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】函数的定义域为，

，令，

则单调递减区间为.

故选：B

跟踪训练2（2023下·陕西西安·高二期中）函数的单调递减区间是（????）

A． B． C． D．和

【答案】C

【详解】，

令，得，

所以函数的单调递减区间是.

故选：C.

易错点3已知函数在区间上单调，恒成立.解题时容易忽略等号

【指点迷津】已知函数在区间上单调，恒成立.

典例1（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，所以，

因为在区间上单调递减，

所以，即，则在上恒成立，

因为在上单调递减，所以，故.

故选：A.

典例2（2023下·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：因为函数，

所以，

因为函数在上单调递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

则，

当时，不恒为零，

所以实数的取值范围是，

故选：C

跟踪训练1（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】依题可知，在上恒成立，

显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：D．

跟踪训练2（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为函数在区间上单调递增，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，

则，

所以在上递增，又，

所以.

所以的取值范围是.

故选：B

易错点4由函数的极值求参数取值时没有验证致错

【指点迷津】根据函数极值求参数有多个答案时请一定要检验

典例1（2023上·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学期末）已知函数在处有极小值，则常数的值为（???????）

A．1 B．2或6 C．2 D．6

【答案】C

【详解】，

由题意得，即，解得或6，

当时，，

当