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2024—2025学年重庆市两江新区西南大学附属中学校高二上学期开学定时练习(9月)数学试卷
一、单选题
(★★★)1.已知(为虚数单位),则复数的共轭复数等于
A.
B.
C.
D.
(★)2.若两个向量,的夹角是,是单位向量,,,则向量与的夹角为()
A.
B.
C.
D.
(★★)3.已知表示两个不同的平面,表示三条不同的直线,()
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
(★★★)4.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,且,若,则面积的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)5.折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,且,则该圆台的体积为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)6.如图,在中,为上一点,且满足,若则的值为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且,,,则球的体积是()
A.
B.
C.
D.
(★★★★)8.在直角梯形中,分别为的中点,点在以为圆心,为半径的圆弧上运动(如图所示).若,其中,则的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★★)9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,则().
A.
B.
C.bc的最大值为
D.为钝角三角形
(★★★★)10.下列四个命题为真命题的是().
A.若,,,要使满足条件的三角形有且只有两个,则
B.若向量,,则在上的投影向量为
C.已知向量,,则的最大值为
D.若,则动点O的轨迹一定通过的重心
(★★★)11.如图,在棱长为2的正方体中,点P是侧面内的一点,点E是线段上的一点,则下列说法正确的是()
A.当点P是线段的中点时,存在点E,使得平面
B.当点E为线段的中点时,过点A,E,的平面截该正方体所得的截面的面积为
C.点E到直线的距离的最小值为
D.当点E为棱的中点且时,则点P的轨迹长度为
三、填空题
(★★)12.已知向量.若,则________.
(★★★)13.如图所示,在四棱锥中,//,且,若,,则二面角的余弦值为______.
(★★★★)14.如图,在三棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,且,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球表面积为__________.
四、解答题
(★★★)15.已知中,,P在线段上,且,,设,.
(1)用向量,表示;
(2)若,求.
(★★★)16.如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形,,,垂足为,是四棱锥的高.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,60°,求四棱锥的体积.
(★★★)17.在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,.
(1)求的值;
(2)若的面积为,求AB边上的高.
(★★★)18.如图,在四棱锥中,,,,,,,且O是AD的中点.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)若四棱锥体积为,求二面角的正弦值;
(3)若二面角的大小为,求直线PB与平面PAD所成角的余弦值.
(★★★★)19.现有长度分别为1,2,3,4的线段各1条,将它们全部用上,首尾依次相连地放在桌面上,可组成周长为10的三角形或四边形.
(1)求出所有可能的三角形的面积.
(2)如图,在平面凸四边形中,,,,.
①当大小变化时,求四边形面积的最大值,并求出面积最大时的值.
②当时,所在平面内是否存在点P,使得达到最小?若有最小值,则求出该值;否则,说明理由.
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