2024年上海市1月春考数学试卷.docVIP

2024年上海市1月春考数学试卷

一、填空题

(★)1.的定义域为_______.

(★)2.直线的倾斜角_______.

(★)3.已知，则_______.

(★)4.展开式中的系数为______.

(★★★)5.三角形中，，则______

(★)6.已知，的最小值为______．

(★★)7.数列，，c的取值范围为___________．

(★)8.三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.

(★★)9.已知，求的的取值范围_______.

(★★★)10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为_______.

(★★★)11.正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）

(★★★★)12.，任意，满足，求有序数列有_____对.

二、单选题

(★)13.，下列不等式恒成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

(★★★)15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）

A．事件与事件互斥

B．事件与事件相互独立

C．事件与事件互斥

D．事件与事件相互独立

(★★★★)16.现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（）

（1）存在与有无穷个交点

（2）存在与有无穷个交点

A．（1）（2）都成立

B．（1）（2）都不成立

C．（1）成立（2）不成立

D．（1）不成立（2）成立.

三、解答题

(★★★)17.已知，

(1)设，求解:的值域;

(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.

(★★★)18.如图，、、为圆锥三条母线，.

(1)证明:；

(2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小

(★★)19.水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

(★★★)20.在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.

(1)若点的横坐标为2，求的长;

(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围

(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.

(★★★★★)21.记

(1)若，求和;

(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.

(3)已知定义在上有最小值，求证是偶函数的充要条件是“对于任意正实数，均有”.