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2024年上海市1月春考数学试卷
一、填空题
(★)1.的定义域为_______.
(★)2.直线的倾斜角_______.
(★)3.已知,则_______.
(★)4.展开式中的系数为______.
(★★★)5.三角形中,,则______
(★)6.已知,的最小值为______.
(★★)7.数列,,c的取值范围为___________.
(★)8.三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.
(★★)9.已知,求的的取值范围_______.
(★★★)10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形,且,则异面直线与的夹角余弦值为_______.
(★★★)11.正方形草地边长到距离为到距离为,有个圆形通道经过,且经过上一点,求圆形通道的周长_______.(精确到)
(★★★★)12.,任意,满足,求有序数列有_____对.
二、单选题
(★)13.,下列不等式恒成立的是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线,则下列说法中正确的是()
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
(★★★)15.有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,现从中任选一个盒子,设事件:所选盒中有中国结,事件:所选盒中有记事本,事件:所选盒中有笔袋,则()
A.事件与事件互斥
B.事件与事件相互独立
C.事件与事件互斥
D.事件与事件相互独立
(★★★★)16.现定义如下:当时,若,则称为延展函数.已知当时,且,且均为延展函数,则以下结论()
(1)存在与有无穷个交点
(2)存在与有无穷个交点
A.(1)(2)都成立
B.(1)(2)都不成立
C.(1)成立(2)不成立
D.(1)不成立(2)成立.
三、解答题
(★★★)17.已知,
(1)设,求解:的值域;
(2)的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围.
(★★★)18.如图,、、为圆锥三条母线,.
(1)证明:;
(2)若圆锥侧面积为为底面直径,,求二面角的大小
(★★)19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱.
(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率;
(2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱;
(3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.
(★★★)20.在平面直角坐标系中,已知点为椭圆上一点,、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点的横坐标为2,求的长;
(2)设的上、下顶点分别为、,记的面积为的面积为,若,求的取值范围
(3)若点在轴上方,设直线与交于点,与轴交于点延长线与交于点,是否存在轴上方的点,使得成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(★★★★★)21.记
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证是偶函数的充要条件是“对于任意正实数,均有”.
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