2025届北京市昌平区东方红学校高三上学期开学考试数学试卷.docVIP

2025届北京市昌平区东方红学校高三上学期开学考试数学试卷

一、单选题

(★)1.若集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知复数（是虚数单位），则的虚部是（）

A．1

B．

C．

D．

(★)3.二项式的展开式中常数项是（）

A．1

B．4

C．6

D．0

(★★)4.设，是非零向量，则“或”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★)5.直线被圆所截得的弦长为（）

A．1

B．

C．2

D．3

(★★)6.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）

A．

B．在上单调递增

C．在上的最小值为

D．直线是图象的一条对称轴

(★★)7.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知分别为双曲线的左?右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)9.函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)10.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（）

A．36

B．42

C．72

D．84

二、填空题

(★)11.函数的定义域是____________．

(★★)12.已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

(★★)13.在中，若，，，则______.

(★★★)14.已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．

(★★★)15.若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，有下列命题：

①直线为和的“隔离直线”．

②若为和的“隔离直线”，则的范围为．

③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．

④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．

其中所有正确命题的序号是_________．

三、解答题

(★★★)16.如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(★★)17.已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．

(1)求的值；

(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．

条件①：；

条件②：是的一个零点；

条件③：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(★★)18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

(★★★)19.已知椭圆的一个顶点为，焦距为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．

(★★★★)20.已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

(★★★★★)21.已知是无穷数列．给出两个性质：

①对