湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 平面向量及其应用 1.6.1 余弦定理.docVIP

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1.6.1余弦定理

A级必备知识基础练

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,∠A=60°,则c=()

A.1 B.2 C.4 D.6

2.如图,一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为30m,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为45°,沿直线步行1min后在B点观察塔顶,仰角为30°,若∠ADB=30°,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为()

A.1m/s B.32

C.22m/s D.1

3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是()

A.1 B.2 C.3 D.4

4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是()

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.由增加的长度确定

5.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()

A.322 B.332

6.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为;最小角的余弦值为.?

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的度数为.?

B级关键能力提升练

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c2-a

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形

9.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则∠B的取值范围是()

A.0,π

C.0,π

10.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sin∠ABD=.?

11.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为

12.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.

C级学科素养创新练

13.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.

(1)求角C的大小;

(2)求AB的长.

14.[江苏新沂校级月考]在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin22A+cos2A=1.

(1)求角A;

(2)若a=23,求△ABC周长的最大值.

1.6.1余弦定理

1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).

2.D依题意,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,则AD=CD=30m.

在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,

则BD=CDtan30°=30

在△ADB中,∠ADB=30°,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即AB2=302+(303)2-2×30×303cos30°=900,解得AB=30m.

所以此人的步行速度为12

3.ACD若a为最大边,则b2+c2-a20,即a25,

∴a5,若c为最大边,则a2+b2c2,即a23,

∴a3,故3a5.

4.A设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cosθ=(a+m)2

5.B在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cosA=AB

∴∠A=60°.∴边AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=33

故选B.

6.301314由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以ab,ac,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos120°=(a-4)2+

7.60°或120°由余弦定理,得2accosB·tanB=3ac,整理,得sinB=32

8.C由c2-a2-

9.AcosB=a2

∵0∠Bπ,∴∠B∈0,

10.12因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=AB2+BC2-

所以sin∠ABD=12

11.3因为sin∠BAC=223,且AD

所以sinπ2+∠BAD=22

在△BAD中,由余弦定理,得

BD=AB2+AD2

12.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,

所以2a+10,a0,2a-10,

综上可知实数a的取值范围是(2,8).

13.解(1)∵cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-12,且∠C∈(0,π),∴∠C=2π

(2)∵a,b是方程x2-23