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2025届广东省高三上学期9月份联考数学试卷
一、单选题
(★)1.已知命题,;命题,是质数,则()
A.均是真命题
B.均是真命题
C.均是真命题
D.均是真命题
(★★)2.已知曲线过抛物线的焦点,则的准线方程为()
A.
B.
C.
D.
(★★)3.已知是关于的方程的一个根,则()
A.
B.0
C.1
D.20
(★★)4.已知半径为3,高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球的表面上,则球的体积为()
A.
B.
C.
D.
(★★)5.已知数列满足,则()
A.2
B.
C.
D.
(★★★)6.在中,内角的对边分别为,已知,,则外接圆的半径为()
A.1
B.
C.2
D.
(★★)7.已知,,,则()
A.
B.
C.
D.
(★★★)8.若则的最小值为()
A.
B.10
C.
D.2
二、多选题
(★★)9.对于函数和,则()
A.与的零点相同
B.与的最小值相同
C.与的最小正周期相同
D.与的极值点相同
(★★★★)10.已知正数满足,则()
A.
B.
C.
D.
(★★★)11.某箱中有若干个编号依次为的球,每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球,若第次取出球的编号为,则记为,则下列说法正确的是()
A.若则
B.若则
C.若则事件和事件相互独立
D.若则事件和事件相互独立
三、填空题
(★★)12.已知,,若,则______.
(★★)13.已知二项式的展开式中的常数项为,则______.
(★★★★)14.已知椭圆与圆有四个不同的公共点,其中.若,则的最大值为______.
四、解答题
(★★★)15.已知某批矿物晶体中含有大量水分子,且经过测量发现其中轻水分子,重水分子,超重水分子的比例为.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子,用频率估计概率,求至少分离出2个轻水分子的概率;
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子,其中轻水分子的个数有6个,然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验,记这3个水分子中轻水分子的个数为,求的数学期望.
(★★★)16.已知首项为1的等差数列的公差为2,又数列满足.
(1)求数列的前项和;
(2)在中,内角的对边分别为,且,,求面积的最大值.
(★★★)17.如图,在正四棱台中,,,,棱上的点满足取得最小值.
(1)证明:平面;
(2)在空间取一点为,使得,设平面与平面的夹角为,求的值.
(★★★★)18.已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为
(1)求的标准方程;
(2)若过的直线与的左、右支分别交于点,与圆交于与不重合的两点.
①求直线斜率的取值范围;
②求的取值范围.
(★★★★)19.已知函数,.
(1)证明:当时,曲线关于点对称;
(2)若为曲线的公共点,且在处存在共同的切线,则称该切线为的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”,求,的值.
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