2025届河南省信阳市新县高级中学高三上学期适应性考试（一）数学试卷.docVIP

2025届河南省信阳市新县高级中学高三上学期适应性考试（一）数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)2.已知，若，则（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★)3.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.的展开式中第四项的系数为540，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（）

A．26

B．25

C．24

D．23

(★★★)6.在中，，，，，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)8.在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（）

A．15

B．16

C．22

D．23

二、多选题

(★★)9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（）

A．与相互独立

B．与互斥

C．

D．

(★★★)10.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）

A．的最小值为2

B．当直线的斜率为时，

C．设直线，的斜率分别为，，则

D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则

(★★★★)11.在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是（）

A．当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为

B．当时，三棱锥外接球的直径为

C．当时，以为直径的球面与底面的交线长为

D．当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为

三、填空题

(★★)12.设为虚数单位．若集合，，且，则______．

(★★)13.已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________.

(★★★★)14.已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________.

四、解答题

(★★)15.如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.

(★★★)16.某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．

(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值：

(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示：

32

41

54

68

74

80

92

0.28

0.34

0.44

0.58

0.66

0.74

0.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，

（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；

（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率．

参考公式与数据：①．

②线性回归方程中，，．

③若随机变量，则，，．

(★★★)17.已知函数.

(1)当时，求在的单调区间及极值.

(2)若恒成立，求的取值范围.

(★★★★)18.已知数列为等比数列，为等差数列，且，，.

(1)求，的通项公式；

(2)数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围；

(3)若数列中，，，求证：.

(★★★★)19.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

(1)求