2025届湖南省湖南师范大学附属中学高三上学期月考（二）数学试卷.docVIP

2025届湖南省湖南师范大学附属中学高三上学期月考（二）数学试卷

一、单选题

(★)1.复数的虚部是（）

A．1

B．

C．

D．

(★★★)2.已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（）

A．2

B．4

C．3

D．1

(★★)3.已知角的终边在直线上，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知函数对任意的，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★★★)8.已知定义域为的函数满足：，且，则下列说法正确的是（）

A．

B．是偶函数

C．若，则

D．若，则

二、多选题

(★★★)9.下列说法中正确的是（）

A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60

B．若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16

C．数据的第70百分位数是23

D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小

(★★★)10.已知函数，则（）

A．的值域为

B．图象的对称中心为

C．当时，在区间内单调递减

D．当时，有两个极值点

(★★★★★)11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）

A．函数是圆的一个太极函数

B．对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数

C．对于圆的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形

D．若函数是圆的太极函数，则

三、填空题

(★★★)12.曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.

(★★)13.已知椭圆的左?右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______.

(★★★)14.设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为__________.

四、解答题

(★★★)15.在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求；

(2)若的面积为，且，求的最小值.

(★★★)16.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左?右焦点.

(1)求的方程；

(2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值.

(★★★)17.如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.

(1)求证：平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.

(★★★)18.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质.

(1)若，

（i）判断数列是否具有性质，并说明理由；

（ii）记，判断数列是否具有性质，并说明理由；

(2)已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质.

(★★★★)19.已知函数，（且）.

(1)令是的导函数，判断的单调性；

(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.