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函数与函数极限教案

一、教学目标

1.理解函数的定义和性质；

2.掌握函数极限的概念；

3.掌握用极限的方法解决函数的连续性、可导性等问题；

4.发展学生的数学思维和逻辑推理能力。

二、教学重点

1.函数的定义和性质；

2.函数极限的概念；

3.用极限的方法解决函数的连续性、可导性等问题。

三、教学难点

1.函数极限的概念；

2.用极限的方法解决函数的连续性、可导性等问题。

四、教学内容

1.函数的定义

函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的数学对象。通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

2.函数的性质

（1）定义域：函数的自变量的取值范围；

（2）值域：函数的因变量的取值范围；

（3）奇偶性：函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)的为奇函数，满足f(-x)=f(x)的为偶函数；

（4）单调性：函数在定义域上的变化趋势；

（5）周期性：函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数。

3.函数极限的概念

函数极限是指当自变量趋于某个值时，函数值趋近于某个常数的现象。若对于任意给定的正数ε，总能找到对应的正数δ，使得当0|x-a|δ时，总有|f(x)-A|ε成立，则称函数f(x)当x趋于a时极限为A，记作lim┬(x→a)?〖f(x)=A〗。

4.函数极限的性质

（1）唯一性：若函数f(x)当x趋于a时极限存在，则极限值唯一；

（2）有界性：若函数f(x)当x趋于a时极限存在且为A，则对于某个正数M，存在正数δ，使得当0|x-a|δ时，有|f(x)|M；

（3）函数局部性质：若函数f(x)当x趋于a时极限存在，则f(x)在x=a的某个去心邻域上有定义。

五、教学方法

1.讲授法：通过对函数的定义和性质的讲解，使学生掌握函数的基本概念；

2.引导法：通过举例和练习，引导学生理解函数极限的概念和性质；

3.讨论法：组织学生讨论函数极限的相关问题，激发学生的思维，培养学生的逻辑推理能力。

六、教学步骤

1.引入函数的定义和性质，帮助学生理解函数的基本概念；

2.讲解函数极限的定义和性质，通过例题帮助学生理解和掌握函数极限的概念；

3.练习函数极限的计算方法，巩固学生的基本操作能力；

4.引入函数连续性和可导性的概念，讲解用极限的方法解决相关问题的步骤；

5.练习函数连续性和可导性的问题，培养学生运用极限方法解决问题的能力；

6.总结本节课的内容，激发学生对数学的兴趣和思考。

七、教学示例

示例1：计算lim┬(x→1)?(2x-1)。

解：当x趋于1时，2x-1趋向于2(1)-1=1。因此，lim┬(x→1)?(2x-1)=1。

示例2：设函数f(x)=x^2，求lim┬(x→2)?(f(x)-f(2))/(x-2)。

解：当x≠2时，f(x)-f(2)=(x^2-2^2)=(x-2)(x+2)。

因此，lim┬(x→2)?(f(x)-f(2))/(x-2)=lim┬(x→2)?(x+2)=2+2=4。

八、课堂讨论

1.什么是函数的极限？函数极限有哪些性质？

2.如何用极限的方法解决函数的连续性和可导性问题？

3.举例说明函数极限的计算方法和应用。

九、课后练习

1.计算lim┬(x→0)?(sinx)/x。

2.求函数f(x)=|x-1|的极限lim┬(x→1)?f(x)。

3.设函数f(x)=(x+1)^2，求lim┬(x→-1)?(f(x)-f(-1))/(x+1)。

十、教学反思

通过本节课的教学，学生对函数的定义和性质有了更深的理解，掌握了函数极限的概念和计算方法。同时，通过讨论和练习，学生的思维和逻辑推理能力得到了发展。在今后的教学中，应注重拓展学生的应用能力，引导学生将函数极限与实际问题相联系，提高数学思维的灵活性和创造性。