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2025届山西省太原市成成中学校高三上学期9月月考数学试卷
一、单选题
(★★)1.若集合,,则下列阴影部分可以表示的为()
A.
B.
C.
D.
(★★)2.已知等比数列的前项和为,且,则()
A.16
B.32
C.81
D.243
(★★★)3.设,,,则的最小值为()
A.
B.
C.
D.3
(★★)4.设椭圆的离心率分别为.若,则()
A.
B.
C.
D.
(★★★)5.已知平面向量、满足,且与的夹角为,若,则的最小值为()
A.1
B.
C.
D.
(★★★)6.已知函数的定义域为,是偶函数,是奇函数,则的最小值为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)7.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
(★★★)8.若函数在区间恰有两个零点,则实数a的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★)9.下列命题是真命题的是()
A.命题“,使得”的否定是“,都有”
B.函数最小值为2
C.已知,,则
D.函数的单调递增区间为
(★★)10.已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件:①,;②,,当时,.则下列选项成立的是()
A.
B.
C.若,则
D.若,则
(★★)11.已知,则()
A.
B.
C.
D.
三、填空题
(★★★)12.已知,且,为虚数单位,则的最大值是__.
(★★)13.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是___________.
(★★★)14.过点与曲线相切的直线方程为______.
四、解答题
(★★)15.(1)已知,求的最小值;
(2)已知是正实数,且,求的最小值.
(★★★)16.已知向量,向量,函数.
(1)求在上的单调递增区间;
(2)令,,求的最大值.
(★★)17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.
(1)证明:平面平面PBC;
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为,求点P到平面AEF的距离.
(★★)18.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系,采取有放回的简单随机抽样,从学校抽取样本容量为200的样本,将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下:
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
(1)根据的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势,在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人,表示“选到的学生语文成绩不优秀”,表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据,估计的值.
(3)现从数学成绩优秀的样本中,按分层抽样的方法选出8人组成一个小组,从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛,求这3人中,语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附:
(★★★)19.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,证明:当时,恒成立.
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