角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式.docx

第

第PAGE1页共NUMPAGES8页

三角函数专题一

角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式

一、基本知识

1、角的概念

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形

(2)角的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋转方向不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按顺时针方向旋转形成的角,负角：按逆时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))

终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)

角度与弧度的换算

①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°

弧长公式

l＝|α|r

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2

3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．

（3）.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．

4．三角函数的诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限）

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

题型精炼

题型一角的认识

例题（多选）(1)若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)可以是()

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

答案AC

【解答】∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπeq\f(α,2)eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．故选C．

(多选）（2）在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为（）．

A．135°B．－675°C．－315°D．215°

答案BC

【解答】所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k－eq\f(45,360)(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．所以选择BC

练习(1)给出下列四个命题：

①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②－400°是第四象限角；③eq\f(4π,3)是第三象限角；④－315°是第一象限角．

其中正确的命题有()

A．①②③B．①②C．②③④D．③④

答案C

【解答】－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①错误．eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．所以选择C

(2)已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

答案B

【解答】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα0，,tanα0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(