专题19最值问题中的费马点模型(原卷版+解析).docxVIP

专题19最值问题中的费马点模型

【模型展示】

特点

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

如图，点M为锐角△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小

【证明】

以AB为一边向外作等边三角形△ABE，

将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

结论

三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【模型证明】

解决方案

如图,在锐角△ABC外侧作等边△ACB,连接BB’.

求证:BB过△ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC.

【证明】

在BB上取点P,使∠BPC=120°,连接AP,在PB上截取PE=PC,连接CE.

∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°,

∴△PCE为等边三角形,

∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB=120°.

∵△ACB为等边三角形,

∴AC=BC,∠ACB=60°,

∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=60°,

∴∠PCA=∠ECB,∴△ACP≌△BCE,

∴∠APC=∠BEC=120°,PA=EB,

∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,

∴P为△ABC的费马点,

∴BB过△ABC的费马点P,且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.

如图,在△ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.

求证:BE=DC.

【证明】

由已知可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.

在△BAE和△DAC中,

∴△BAE≌△DAC,∴BE=DC.

【题型演练】

一、单选题

1．数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知道平面直角坐标系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？（）

A．迪卡尔 B．欧几里得 C．欧拉 D．丢番图

2．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（???）

A． B． C．6 D．

3．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝（）

A．6 B． C． D．9

4．已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则（????）

A．6 B． C． D．9

二、填空题

5．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____．

6．若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120，则点P叫做△ABC的费马点．若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60，PA=3，PC=4，则PB的值为___________．

7．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为_____．

8．已知：到三角