《常微分方程》课程教学大纲.pdf

常微分方程

课程编号：B3I09221A

课程中文名称：常微分方程

课程英文名称：OridinaryDifferentialEquations

开课学期：秋季

学分/学时：3/48

先修课程：数学分析，高等代数，解析几何，物理学

建议后续课程：偏微分方程、数值分析、拓扑学、理论力学、微分方程定性理论

适用专业/开课对象：数学类各专业/二年级本科生

一、课程的性质、目的和任务

微分方程是数学和实际应用联系最紧密的学科之一，是一门在物理学、力学、化学、生物学、

控制、航空航天、工程技术和某些社会科学以及国民经济中应用广泛、实用性强的重要学科，是

有效地开展和进行科学研究工作必备的数学工具，该课程是数学与应用数学专业的专业课，是信

息与计算科学专业的专业基础课。

通过本课程的学习,使学生掌握常微分方程的基本概念和初等积分法的一般方法,熟练掌握线

性方程与方程组的解的结构和求解方法，并能运用这些方法去，解决一些简单的实际问题，也为

以后的学习打下良好的基础。

本课程重点支持以下毕业要求指标点：

1.1能应用数学、物理等知识对一些典型的数学与应用科学问题进行数学建模、求解或做定

性分析，并对所得结果给出合理解释。

体现在掌握微分方程的基本理论与可积微分方程类型的求解方法，为后续专业课程的学

习做好必要的准备。

1.2应用微分方程的古典理论与线性理论，对应用数学和物理、力学、生物科学、经济学等

领域的问题进行初步的定性分析与研究的意识和能力。

二、课程内容、基本要求及学时分配

第一章一阶微分方程的初等解法(16学时)

要求熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程等的解法，会应用降

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阶法解某些高阶方程。会建立简单的微分方程模型。

主要支持毕业要求指标点1.1.

第二章解的存在性与唯一性定理(10学时)

掌握解的存在、唯一性定理及证明，了解解的延展定理和解关于初值的连续、可微性定理。

会求方程的奇解并理解其含义。

主要支持毕业要求指标点1.2.

第三章一阶线性微分方程组(8学时)

掌握线性微分方程组的一般理论及常系数线性微分方程组的解法，会计算矩阵指数。并对方

程的解的渐近状态有所了解。

主要支持毕业要求指标点1.1，1.2.

第四章n阶线性微分方程(12学时)

掌握线性微分方程的一般理论及常系数线性微分方程的解法，了解二阶线性方程的幂级数解

法和Laplace方法。会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

主要支持毕业要求指标点1.1.

第五章定性与稳定性理论简介(2学时)(机动)

微分方程定性和稳定性理论简介，后续课程及相关研究方法介绍(讲座形式)

主要支持毕业要求指标点1.2.

三、教学方法

本课程主要采用课堂教学与课外扩展学习的教学方法。

(1)本课程的特点是理论基础部分比较抽象，难以掌握和应用。方程可解类型比较少，解法

灵活多变，需要学生通过做大量的习题来掌握各类方程的解法。本课程多采用版书教学

以加深学生对课堂知识的理解与运用能力，并通过习题课帮助学生提高解方程的技巧和

对不同方程解法的理解与应用。

(2)线性理论是本课程的主要内容，通过物理、力学等应用学科中具体实例让学生学会对问

题的线性化处理的方法和条件，为今后的学习打下理论基础。

(3)在课程的后期，引导学生阅读微分方程和动力系统方面的课外读物，拓展学生的视野，

提高学生的自主学习的能力。通过文献阅读、课外调研等过程，学生可以充分理解课堂

中讲授的基本概念与本学科在其它学科中所起的作用。使得学生们充分了本学科的前沿

热点，将所学基础知识应用于解决一些前言热点问题。

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四、教学安排及方式

本课程教学要求学生在课外自主学习、阅读本课程使用的教材内容，做到课前先预习再