《复变函数与积分变换》习题册.docVIP

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《复变函数与积分变换》习题册

合肥工业大学

《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助

2018年9月

《复变函数与积分变换》第一章习题

求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:

；（2）.

将下列复数写成三角表达式和指数形式:

；（2）.

利用复数的三角表示计算下列各式:

（1）；（2）

解方程.

设（是的辐角），求证：.

6.指出满足下列各式的点的轨迹或所在范围.

；

（2），其中为复数，为实常数.（选做）

7.用复参数方程表示曲线：连接与的直线段.

8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.

(1)；(2)；

9.函数把下列平面上的曲线映射成平面上怎么样的曲线？

（1）；（2）；（3）.

10.试证：不存在.

《复变函数与积分变换》第二章习题

1.用导数定义求的导数.

2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？

；（2）；

3.试讨论的解析性，并由此回答：若复变函数中的和均可微，那么一定可导吗？

4.设为解析函数，试确定的值.

5.设在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的：

（1）常数；（2）常数；（3）解析.

6.试解下列方程：

；（2）；（3）.

7.求下列各式的值：

；（2）；（3）.

8.等式是否正确？请给出理由.

《复变函数与积分变换》第三章习题

3.1复积分的概念与基本计算公式

计算积分，其中C为从原点到点1+i的直线段.

2．计算积分的值，其中C为

3.当积分路径是自沿虚轴到，利用积分性质证明：

3.2柯西古萨基本定理

1.计算积分,其中C为

2.计算积分,其中C为.

3.3基本定理的推广

计算积分,其中C为正向圆周与负向圆周所组成。

计算积分,其中C为包含圆周在内的任何正向简单闭曲线。

3.4原函数与不定积分

1.

2.

3.5柯西积分公式

1．计算下列积分

（1），其中，正向；

（2），其中，正向；

（3），正向

2.计算积分,其中C为

(1)(2)(3)

3.已知求

3.6高阶导公式

1．计算下列积分

(1)，其中，正向

(2),其中，正向

(3),其中，正向，

2.已知，求

3.7解析函数与调和函数的关系

1.已知是某一解析函数的虚部，求

2.设为解析函数，已知，.

（1）求的表达式；

（2）求

3.已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足

4.设，求的值使得为调和函数，并求出解析函数

5.证明：都是调和函数，但不是解析函数.

6.证明：若是解析函数，则是的共轭调和函数

《复变函数与积分变换》第四章习题

4-1复数项级数

1.下列数列是否收敛？如果收敛，则求出它们的极限：

（1）；（2）．

２．下列级数是否收敛？若收敛，则判别是绝对收敛还是条件收敛．

（1）；（2）；（3）．

３．幂级数能否在处收敛，在处发散？

4-2幂级数

1.级数的收敛半径，且在收敛圆周的某一点处级数绝对收敛，证明级数在闭圆盘上绝对收敛．

2.下列幂级数的收敛半径：

（１）；（２）；

（３），其中为正实数

4-3泰勒级数

1．设有级数展开式，问级数的收敛半径是多少？并说明理由．

2．把下列函数展开为的幂级数，并指出展开式成立的范围：

（１）；（２）．

3．求下列函数在指定点处的泰勒级数展开式，并指出它们的收敛半径：

（１）；（２）．

4-4洛朗级数

1．函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？为什么？

2．把下列函数在指定的圆环域内展开为洛朗级数：

（１）；

（２），分别在圆环域及内展开；

（３）．

3．利用洛朗级数展开式求积分的值，其中为正向圆周．

《复变函数与积分变换》第五章习题

5-1孤立奇点

１．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级数：

（１）；（２）；（３）；（４）；（５）．

２．设函数与分别以为级与级极点，那么下列三个函数

（１）；（２）；（３）．

在处各有什么性质？

5-2留数

１．求下列函数在各有限奇点处的留数：

（１）；（２）；（３）；

２．计算下列各积分，为正向圆周：

（1）；（2）；

（3），其中为整数；（4）．

*３．利用无穷远点的留数计算下列积分：

(1)正向；（２）正向．

5-3留数在定积分计算中的应用

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