湘教版高中数学必修第二册课后习题 第2章 三角恒等变换 2.1.1 两角和与差的余弦公式.docVIP

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2.1.1两角和与差的余弦公式

A级必备知识基础练

1.化简cos16°cos44°-cos74°sin44°的值为()

A.32 B.-32 C.1

2.计算cosπ

A.2 B.-2 C.22 D.-

3.[河南模拟]已知tanαtanβ=2,cos(α+β)=-15

A.35 B.-35 C.1

4.函数f(x)=cos(x+π4)-cos(x-π4

A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数

5.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ=

6.若cos(α-β)=13,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=

7.[湖北宜昌期中]已知α,β为锐角,sinα=255,cos(π-β)=-

8.已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且α-β∈(π2,π),α+β∈(3π

B级关键能力提升练

9.已知sinα-sinβ=1-32,cosα-cosβ=1

A.12 B.32 C.

10.已知α,β都是锐角,满足cosα=55,sinβ=3

A.π4 B.

C.3π4 D.π4+2kπ,k

11.(多选题)下列满足sinαsinβ=-cosαcosβ的有()

A.α=β=90° B.α=-18°,β=72°

C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°

12.(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2)

A.cos(β-α)=12 B.cos(β-α)=-

C.β-α=π3 D.β-α=-

13.化简:2cos10°-sin20°

14.已知向量a=(sinα,5cosα-sinα),b=(cosβ-5sinβ,cosβ),且a·b=2.

(1)求cos(α+β)的值;

(2)若0απ2,0βπ2,且sinα=

C级学科素养创新练

15.已知函数f(x)=Asin(x+π4)(x∈

(1)求A的值;

(2)若f(α)=-15

2.1.1两角和与差的余弦公式

1.Ccos16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12

故选C.

2.Ccosπ4-

3.A由cos(α+β)=-15,知cosαcosβ-sinαsinβ=-1

又因为tanαtanβ=2=sinαsinβcosαcosβ

所以cosαcosβ=15,sinαsinβ=2

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=15

故选A.

4.D因为f(x)=cosx+π4-cosx-π4

又f(-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x),x∈R,所以函数f(x)为奇函数.故选D.

5.0由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=45,cosαcosβ+sinαsinβ=-4

6.83原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=8

7.解因为sinα=255,α为锐角,所以cosα=

因为cos(π-β)=-cosβ=-210

所以cosβ=210

所以sinβ=1-

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=55

8.解由α-β∈(π2,π),且cos(α-β)=-1213,得sin(α-β)=513.由α+β∈(3π2,2π),且cos(α+β)=

∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

=1213×(-1213)+(-513)

又α+β∈(3π2,2π),α-β∈(π2,π

∴2β∈(π2,3π2).

9.B因为sinα-sinβ=1-32

所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=74-

又因为cosα-cosβ=12

所以cos2α-2cosαcosβ+cos2β=14.

所以①+②得2cos(α-β)=3.

所以cos(α-β)=32

10.C∵0απ2,0βπ2,cosα=55

∴sinα=1-cos

则cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=55×10

∵0απ2,0βπ2,

∴α+β=3π4

11.BC由sinαsinβ=-cosαcosβ可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.

12.AC由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.两式分别平方相加,得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1,

∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=12

∴