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山西省太原市迎泽区五中2023年高三年级第二学期阶段测试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
2.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()
A. B. C. D.
3.函数,,则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,(其中e是自然对数的底数),若,则实数a的值为()
A. B.3 C. D.
5.已知无穷等比数列的公比为2,且,则()
A. B. C. D.
6.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有()
A.14种 B.15种 C.16种 D.18种
7.若复数是纯虚数,则实数的值为()
A.或 B. C. D.或
8.已知为抛物线的焦点,点在抛物线上,且,过点的动直线与抛物线交于两点,为坐标原点,抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题:
①在抛物线上满足条件的点仅有一个;
②若是抛物线准线上一动点,则的最小值为;
③无论过点的直线在什么位置,总有;
④若点在抛物线准线上的射影为,则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,已知三棱锥中,平面平面,记二面角的平面角为,直线与平面所成角为,直线与平面所成角为,则()
A. B. C. D.
10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地,请问第二天比第四天多走了()
A.96里 B.72里 C.48里 D.24里
11.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. B. C. D.
12.在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的表面积是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,则_____
14.已知函数为奇函数,则______.
15.已知平面向量,的夹角为,且,则=____
16.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意都有,求实数的取值范围.
18.(12分)已知椭圆:(),点是的左顶点,点为上一点,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与的另一个交点为(异于点),是否存在直线,使得以为直径的圆经过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
19.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,,,M是椭圆E上的一个动点,且的面积的最大值为.
(1)求椭圆E的标准方程,
(2)若,,四边形ABCD内接于椭圆E,,记直线AD,BC的斜率分别为,,求证:为定值.
20.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的短轴长为,直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.当与连线的斜率为时,直线的倾斜角为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是以为直径的圆上的任意一点,求证:
21.(12分)如图,是正方形,点在以为直径的半圆弧上(不与,重合),为线段的中点,现将正方形沿折起,使得平面平面.
(1)证明:平面.
(2)三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设和交点的交点为,求的面积.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中
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