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山西省夏县中学2023届高三下学期第二次模拟考试(数学试题理)试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.用数学归纳法证明1+2+3+?+n2=n4
A.k2+1
C.k2+1
2.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()
A. B. C. D.
3.设集合(为实数集),,,则()
A. B. C. D.
4.若实数、满足,则的最小值是()
A. B. C. D.
5.把满足条件(1),,(2),,使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为()
①②③④⑤
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.已知集合A,B=,则A∩B=
A. B. C. D.
7.M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()
A.π B.π C.π D.2π
8.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
9.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()
A.2 B.5 C.7 D.8
10.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列:列出“全步”(整数部分)及诸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去约其分子,将所得能通分之分数进行通分约简,又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数,逐个照此同样方法,直至全部为整数,例如:及时,如图:
记为每个序列中最后一列数之和,则为()
A.147 B.294 C.882 D.1764
11.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
12.已知集合则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知平面向量与的夹角为,,,则________.
14.如图,已知,,为的中点,为以为直径的圆上一动点,则的最小值是_____.
15.已知函数,则不等式的解集为____________.
16.如图,在中,已知,为边的中点.若,垂足为,则的值为__.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,,,平面,是线段上靠近的三等分点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(12分)已知,,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
19.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
20.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求的值;
(2)若,求面积的最大值.
21.(12分)在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为、,与直线的交点为,求线段的长.
22.(10分)已知动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心的轨迹为,过作斜率为的直线与交于两点,过分别作的切线,两切线的交点为,直线与交于两点.
(1)证明:点始终在直线上且;
(2)求四边形的面积的最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4
【详解】
当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,
当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查数学归纳法,属于中档题./
2.A
【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.
【详解】
解:设,∴,
又,两式相减得:,
∴,
∴,
∴直线的斜率为2,又∴过点,
∴直线的方程为:,即,
故选:A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即
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