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第01讲集合的概念与表示
【题型目录】
题型一:判断能否构成集合
题型二:集合表示的含义
题型三:验证元素是否是集合的元素
题型四:已知元素是集合的元素,根据集合的属性求出相关的参数.
题型五:集合的确定性、互异性、无序性
题型六:集合的表示法
【知识梳理与考点剖析】
知识点一集合的概念
集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.
题型一:判断能否构成集合
典例1:下列研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.
(1)小于5的自然数;
(2)某班所有个子高的同学;
(3)不等式2x+1>7的整数解.
典例2:下列集合中表示同一集合的是()
A.M={(3,2)}N={3,2}B.M={(x,y)|x+y=1}N={y|x+y=1}
C.M={(4,5)}N={(5,4)}D.M={2,1}N={1,2}
知识点二集合表示的含义
所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;
所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N+或N*;
所有整数组成的集合称为整数集,记作Z;
所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q;
所有实数组成的集合称为实数集,记作R.
题型二:集合表示的含义
典例3:下面三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},请说说它们各自代表的含义.
知识点三集合与元素的关系
1、元素与集合的关系:
一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体称为集合,简称集.元素一般用小写字母a,b,c表示,集合一般用大写字母A,B,C表示,两者之间的关系是属于与不属于关系,符号表示如:a∈A或a?A.
2、集合中元素的三大特征:
(1)确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素,两种情况必居其一且仅居其一,不会模棱两可,例如“著名科学家”,“与2接近的数”等都不能组成一个集合.
(2)互异性:一个给定的集合中,元素互不相同,就是在同一集合中不能出现相同的元素.例如不能写成{1,1,2},应写成{1,2}.
(3)无序性:集合中的元素,不分先后,没有如何顺序.例如{1,2,3}与{3,2,1}是相同的集合,也是相等的两个集合.
题型三:验证元素是否是集合的元素
典例4:已知集合A={x|x=m2﹣n2,m∈Z,n∈Z}.求证:
(1)3∈A;
(2)偶数4k﹣2(k∈Z)不属于A.
题型四:已知元素是集合的元素,根据集合的属性求出相关的参数.
典例5:已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求实数a的值.
题型五:集合的确定性、互异性、无序性
典例6:(2021秋?南通月考)设集合A={2,1﹣a,a2﹣a+2},若4∈A,则a=()
A.﹣3或﹣1或2 B.﹣3或﹣1 C.﹣3或2 D.﹣1或2
典例7:(2021秋?沭阳县校级月考)已知A是由0,m,m2﹣3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为()
A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可
典例8:(2020秋?新吴区校级期中)如果集合A={x|ax2+4x+1=0}中只有一个元素,则a的值是()
A.0 B.4 C.0或4 D.不能确定
知识点四集合的表示
1.列举法:常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法.{1,2,3,…},注意元素之间用逗号分开.
2.描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字,符号或式子等描述出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做描述法.即:{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0<x<π}
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等,例如(北京,天津,上海,重庆)=(上海,北京,天津,重庆》
知识点五集合的分类
一般地,含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集,记作.例如,集合就是空集.
题型六:集合的表示法
典例9:(2021秋?沭阳县校级月考)集合A={1,3,5,7,???}用描述法可表示为()
A.{x|x=n,n∈N} B.{x|x=2n﹣1,n∈N}
C.{x|x=2n+1,n∈N} D.{x|x=n+2,n∈N}
典例10:(2021秋?江苏月考)已知集合A={x∈N|x≤2},用列举法表示集合A=
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