第一讲 集合的概念和表示-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）(原卷版)_1.docx

【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）

第一讲集合的概念与表示

【基础知识】

（一）集合的有关概念

1.集合的概念

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

2.元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样.

（二）集合与元素的关系

1.集合与元素的关系

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作：a∈A；

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作：aA，

例如，我们用A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，，4A，等等.

2.集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.

3.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R.

（三）集合的种类

（1）有限集：含有有限个元素的集合如：

（2）无限集：含有无限个元素的集合如：

（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：不等式的解集

空集是特殊的有限集合

问：对吗？对吗？

（四）集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；各元素之间用逗号分开。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式。例如，

【考点剖析】

考点一：集合的判定问题

规律方法判断一组对象能否构成集合的依据

例：下列每组对象能否构成一个集合：

(1)我们班的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(4)的近似值的全体．

解析：

(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．

(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“”与，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；

(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；

(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．

考点二：元素与集合的关系

规律方法判断元素与集合关系的两个关键点

判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．

判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．

例：(1)给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

(2)集合A中的元素满足，则集合A中的元素为________

(3)集合，判断下列元素与集合A的关系

（4）已知集合，，若，

那么为（）

A.B.

C.D.

解析：

(1)①②正确；③④⑤不正确．

(2)∵，

∴当时，，∴满足题意；

当时，，∴满足题意；

当时，，∴满足题意；

当时，不满足题意，

所以集合A中的元素为0,1,2.

（3）由于

∴①当时，，∴

②

∴当时，

∴

③

当时，，

但∴。

（4）是方程联立的方程组的解，即且是元素而不是集合。

答案(1)B(2)0,1,2

（3）

（4）B

知识点三集合中元素的特性

规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点

(1)

(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互

异性对集合中的元素进行检验．

(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题

时，要注意分类讨论思想的应用．

例：已知集合，且。求的值。

解析：

由于，故为集合A中的元素，因此

，分别解这两个方程再检验即可。

∵，且

∴

解得

当时，，

不符合集合中元素的互异性，舍去；

当时，，满足题意

故

答案

知识点四用列举法表示集合

(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．

(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点