《应用高等数学》第2章 导数与微分.pptx

应用高等数学

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第2章导数与微分

本章将在函数和极限的基础上介绍微分学的两个基本概念：导数与微分．我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要讨论的主要内容——导数与微分．本章寄语

2.1导数节导航章导数与微分2.2导数的基本公式与求导法则2.3导数的应用2.4微分及其应用

2.1导数

2.1.1引例【分析】当时间由变到时，物体的路程由变到，路程的增量为，物体在到这段时间内的平均速度为，引例1（速度问题）设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为，求该物体在时刻的瞬时速度．

2.1.1引例引例1（速度问题）【分析】设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为，求该物体在时刻的瞬时速度．此平均速度近似反映了该物体在时刻的快慢程度，越接近于（即越小），平均速度就越接近于时刻的瞬时速度．因此，平均速度当时的极限就是该物体在时刻的瞬时速度，即．

2.1.1引例【分析】设割线的倾角为，则割线的斜率为．引例2（切线问题）如图所示，设函数的图形为曲线L，在曲线L上取一定点，再取一动点，作割线MN．当点N沿着曲线L无限接近于点M时，割线MN的极限位置MT就是曲线L在点M处的切线．要确定出切线MT，只要确定出曲线L在点处的切线斜率即可．

2.1.1引例引例2（切线问题）【分析】如图所示，设函数的图形为曲线L，在曲线L上取一定点，再取一动点，作割线MN．当点N沿着曲线L无限接近于点M时，割线MN的极限位置MT就是曲线L在点M处的切线．要确定出切线MT，只要确定出曲线L在点处的切线斜率即可．当，即点沿着曲线L无限接近于点时，割线就越来越接近于切线的位置．也就是说，割线斜率的极限就是切线的斜率，即．

2.1.2导数的定义从引例可以看出，求变速直线运动物体的瞬时速度和曲线的切线斜率，实质就是求当自变量增量趋于0时，函数增量与自变量增量之比的极限．在实际中，许多问题都可以归结为求增量之比极限的问题．在数学上，我们把这类问题定义为导数．导数的概念

2.1.2导数的定义定义1设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处有增量时，相应地，函