专题13.15课题学习——最短路径问题（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专（含答案解析）.docx

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专题13.15课题学习——最短路径问题（知识讲解）

【学习目标】

1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．

2．能利用轴对称变换设计一些图案，解决简单的实际问题.

3．能运用轴对称的性质（将军饮马问题），解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．

【要点梳理】

要点一：对称轴的作法

若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．

特别说明：

在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

要点二：将军饮马问题的基本作图和解题方法

几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）

如图一：A、B为直线外一点，过点A做直线的对称点，连接交直线于点P，则点P为所求，此时，最小．

几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）

此处MN均为折点，分别作点P关于OA、OB的对称点，化折线段为，当、、、共线时，周长最小．

几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短）

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小．

考虑PQ是定线段，故只需考虑最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段为，当、、、共线时，四边形周长最小．

几何模型3（2）：两定两动型（将军过桥）（两点之间线段最短）

【将军过桥】已知将军在图1中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在位置（如图2）．

问题化为求最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（如图3）．

几何模型4：一定两动型（垂线段最短公理）

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小．

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点，将折线段PM+MN转化为，即过点作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

【典型例题】

类型一、两定一动型

1．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是(?????)

A． B． C． D．

举一反三：

【变式1】

2．如图，在中，，，于点，垂直平分，在上确定一点，使最小（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【变式2】

3．如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是．

类型二、一定两动型求线段长

4．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值．

举一反三：

【变式1】

5．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．

【变式2】

6．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为．

类型三、一定两动型求角度

7．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（??）

A． B． C． D．

举一反三：

【变式1】

8．如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（????）

A． B． C． D．

【变式2】

9．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(?????????)

A．82° B．84° C．88° D．92°

类型四、两定一动平移型（将军饮马平移型）

10．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（????）

A． B． C． D．

举一反三：

【变式】

11．如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C