5.5差分与等距节点ton插值公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

第四节差分与等距节点newton插值?5.5.1、差分及其性质?5.5.2、等距节点插值公式?5.5.3、例题分析10/17/20241

在实际应用Newton插值多项式时，经常碰到插值节点是等距的状况，此时能够简化Newton插值公式。个插值节点：已知其中为步长于是在差商中，分母部分将变得简单，计算量主要集中在分子（两节点处函数值的差）。分析差商的形式，引入差分概念当插值节点x0,x1,…,xn分布等距时，也即h=xk+1-xk,k=0,1,2,…,n-1一、差分及其性质10/17/20242

定义5.5.1.一阶中心差分10/17/20243

依这类推10/17/20244

向前差分算子，差分10/17/20245

引入下列惯用算子符号：并称I为恒等算子，E为移位算子，各算子之间以下关系故同理10/17/20246

差分的性质性质5.5常数的差分等于零性质5.6函数值能够表达各阶差分10/17/20247

10/17/20248

性质5.710/17/20249

性质5.810/17/202410

差分与导数的关系：10/17/202411

10/17/202412

差分表10/17/202413

5.5.2、Newton插值公式由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式计算x0点附近的值10/17/202414

则插值公式化为10/17/202415

此公式为牛顿向前插值公式，其它项为10/17/202416

类似有牛顿向后插值公式等距节点插值公式10/17/202417

等距节点插值公式:牛顿向前插值公式、牛顿向后插值公式。10/17/202418

例1分别作出f(x)=x2+x+1的前差和后差表。解:前差表见表4―7;后差表见表4―8表4―7三、例题分析10/17/202419

表4―810/17/202420

例2给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1),试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891的近似值。解：作差分表4―9。表4―９10/17/202421

运用牛顿前差公式10/17/202422

运用牛顿后差公式10/17/202423

为使用牛顿插值公式，先构造差分表.例3给出在处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算及的近似值并估计误差.解根据题意，插值条件为由于接近，所以应用牛顿向前插值公式计算的近似值.10/17/202424

(注意：表中带下划线的数据为点的各阶向前差分，双下划线为点的各阶向后差分.)10/17/202425

取则用表2-4上半部的各阶向前差分，得10/17/202426

由余项公式（4.11）得误差预计其中（4.11）10/17/202427

于是计算应使用牛顿向后插值公式，用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得这里10/17/202428

其中由余项公式（4.13）得误差预计（4.13）10/17/202429