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2023-2024学年湖北省A9高中联盟高二(上)期中数学试卷
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.
1.(1﹣2i)(1﹣i)=()
A.﹣1﹣3i B.3﹣3i C.﹣1+i D.3+i
2.如图,空间四边形OABC中,OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→
A.12a→-2
C.12a→+
3.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,A市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动,购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵,比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5:3:2,若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配,则中年教师应分得梧桐的数量为()
A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵
4.若直线ax+2y=0与直线x+(a+1)y+(a2﹣1)=0平行,则a的值是()
A.1或﹣2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1
5.已知母线长为5的圆锥的侧面积为15π,则这个圆锥的体积为()
A.12π B.16π C.24π D.48π
6.已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2),B(1,﹣1,﹣2),C(﹣1,﹣3,2),则BC边上的高等于()
A.233 B.833 C.4
7.已知椭圆x212+y26=1以及椭圆内一点P
A.-14 B.14 C.﹣4
8.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果,写出了经典之作《圆锥曲线论》,在此著作第七卷《平面轨迹》中,有众多关于平面轨迹的问题,例如:平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(﹣1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足|PA|=2|PB|,若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2=0(m,n>0)对称,则
A.10 B.20 C.30 D.40
二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的,全部选对的得5分,有错选的得0分,部分选对的得2分.
9.若方程x23-t+
A.曲线C可能是圆
B.若1<t<3,则C为椭圆
C.若C为椭圆,且焦点在x轴上,则2<t<3
D.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则2<t<3
10.甲、乙各投掷一枚骰子,下列说法正确的是()
A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件
B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C.事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件
D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
11.已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x﹣2y+4=0,下列说法正确的是()
A.两圆有两条公切线
B.两圆的公共弦所在的直线方程为y=2x+2
C.点E在圆O上,点F在圆M上,|EF|的最大值为5+3
D.圆O上有2个点到直线x+y+2=0的距离为2
12.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是DD1,A1B1,CD,BC的中点,则下列说法正确的有()
A.E,F,G,H四点共面
B.BD与EF所成角的大小为π3
C.在线段BD上存在点M,使得MC1⊥平面EFG
D.在线段A1B上任取一点N,三棱锥N﹣EFG的体积为定值
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量a→,b→的夹角为π3,且a→?(a→-b→)=1,|a→|=2,则|
14.如图,由X到Y的电路中有4个元件,分别为A,B,C,D,若A,B,C,D能正常工作的概率都是12,记N=“X到Y的电路是通路”,则P(N)=
15.已知实数x,y满足x2+y2﹣2y﹣3=0,则2x+y的取值范围为.
16.在以O为中心,F1、F2为焦点的椭圆上存在一点M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|,则该椭圆的离心率为.
四、解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知△ABC的三个顶点是A(1,2),B(﹣1,4),C(4,5).
(1)求AB边的高所在直线的方程;
(2)若直线l过点C,且点A,B到直线l的距离相等,求直线l的方程.
18.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p→=(a,c-b),
(1)求角C;
(2)若c=32,△ABC的面积为332
19.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,E,F分别在棱PD,
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